§2.prop.11τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
주어진 직선을 잘라서, 전체 선분과 나누어진 선분들 중 하나로 둘러싸인 직사각형이, 남은 선분 상에 그려진 정사각형과 같게 하는 것.
ἔστω ἡ δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ·
주어진 직선이 AB라고 하자.
δεῖ δὴ τὴν ΑΒ τεμεῖν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνῳ.
그러면 AB를 잘라야 하는데, 전체 선분과 나누어진 선분들 중 하나로 둘러싸인 직사각형이, 남은 선분 상에 그려진 정사각형과 같게 하도록 해야 한다.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΒΔΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΒΕ, καὶ διήχθω ἡ ΓΑ ἐπὶ τὸ Ζ, καὶ κείσθω τῇ ΒΕ ἴση ἡ ΕΖ, καὶ ἀναγεγράφθω ἀπὸ τῆς ΑΖ τετράγωνον τὸ ΖΘ, καὶ διήχθω ἡ ΗΘ ἐπὶ τὸ Κ·
왜냐하면, AB 상에 정사각형 ABDG가 그려졌다고 하고, AC가 E점에서 이등분되었으며, BE가 연결되었다고 하자. 그리고 CA가 Z까지 연장되었고, BE와 같은 EZ가 놓였으며, AZ 상에 정사각형 ZTh가 그려졌고, HTh가 K까지 연장되었다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ, ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΑΘ τετραγώνῳ.
나는 말한다, AB는 Th에서 잘려졌으며, AB, BTh로 둘러싸인 직사각형이 ATh 상에 그려진 정사각형과 같게 된다고.
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΑΓ τέτμηται δίχα κατὰ τὸ Ε, πρόσκειται δὲ αὐτῇ ἡ ΖΑ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ τετραγώνου ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετραγώνῳ.
왜냐하면, 직선 AC가 E에서 이등분되고, 그것에 ZA가 더해졌으므로, GZ, ZA로 둘러싸인 직사각형과 AE 상에 그려진 정사각형의 합은 EZ 상에 그려진 정사각형과 같다.
ἴση δὲ ἡ ΕΖ τῇ ΕΒ·
그런데 EZ는 EB와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΕΒ. ἀλλὰ τῷ ἀπὸ ΕΒ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Α γωνία·
그러므로 GZ, ZA로 둘러싸인 직사각형과 AE 상에 그려진 정사각형의 합은 EB 상에 그려진 정사각형과 같다. 그런데 EB 상에 그려진 정사각형에 BA, AE 상에 그려진 정사각형들의 합이 같다(왜냐하면 A에서의 각이 직각이기 때문이다).
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΕ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΕ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΕ·
그러므로 GZ, ZA로 둘러싸인 직사각형과 AE 상에 그려진 정사각형의 합은 BA, AE 상에 그려진 정사각형들의 합과 같다. 공통인 AE 상에 그려진 정사각형을 뺏다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετραγώνῳ.
그러므로 남은 GZ, ZA로 둘러싸인 직사각형은 AB 상에 그려진 정사각형과 같다.
καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΓΖ, ΖΑ τὸ ΖΚ· ἴση γὰρ ἡ ΑΖ τῇ ΖΗ· τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΒ τὸ ΑΔ·
그리고 GZ, ZA로 둘러싸인 직사각형은 ZK이고(왜냐하면 AZ는 ZH와 같기 때문이다), AB 상에 그려진 정사각형은 AD이다.
τὸ ἄρα ΖΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΔ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΚ·
그러므로 ZK는 AD와 같다. 공통인 AK를 뺏다고 하자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΖΘ τῷ ΘΔ ἴσον ἐστίν.
그러므로 남은 ZTh는 ThD와 같다.
καί ἐστι τὸ μὲν ΘΔ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ· ἴση γὰρ ἡ ΑΒ τῇ ΒΔ·
그리고 ThD는 AB, BTh로 둘러싸인 직사각형이다(왜냐하면 AB는 BD와 같기 때문이다).
τὸ δὲ ΖΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ·
또한 ZTh는 ATh 상에 그려진 정사각형이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΘΑ τετραγώνῳ.
그러므로 AB, BTh로 둘러싸인 직사각형은 ThA 상에 그려진 정사각형과 같다.
ἡ ἄρα δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται κατὰ τὸ Θ ὥστε τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΘ περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον ποιεῖν τῷ ἀπὸ τῆς ΘΑ τετραγώνῳ·
그러므로 주어진 직선 AB는 Th에서 잘려졌으며, AB, BTh로 둘러싸인 직사각형이 ThA 상에 그려진 정사각형과 같게 한다.
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
이것이 해야 할 일이었다.
§2.prop.12ἐν τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ.
둔각삼각형에서 둔각을 마주 보는 변 상에 그려진 정사각형은, 둔각을 끼고 있는 변들 상에 그려진 정사각형들의 합보다, 둔각을 끼고 있는 변들 중 수선이 떨어지는 쪽의 한 변과, 수선에 의해 둔각의 바깥쪽으로 잘려 나간 선분으로 둘러싸인 직사각형의 두 배만큼 더 크다.
ἔστω ἀμβλυγώνιον τρίγωνον τὸ ΑΒΓ ἀμβλεῖαν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ, καὶ ἤχθω ἀπὸ τοῦ Β σημείου ἐπὶ τὴν ΓΑ ἐκβληθεῖσαν κάθετος ἡ ΒΔ. λέγω, ὅτι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ τετραγώνων τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
둔각삼각형 ABG가 BAG를 둔각으로 갖는다고 하자. 그리고 B점으로부터 GA의 연장선에 수선 BD가 그어졌다고 하자. 나는 말한다, BG 상에 그려진 정사각형은 BA, AG 상에 그려진 정사각형들의 합보다 GA, AD로 둘러싸인 직사각형의 두 배만큼 더 크다.
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα ἡ ΓΑ τέτμηται, ὡς ἔτυχεν, κατὰ τὸ Α σημεῖον, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΓ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
왜냐하면, 직선 GA가 임의로 A점에서 잘려졌으므로, DG 상에 그려진 정사각형은 GA, AD 상에 그려진 정사각형들의 합과, GA, AD로 둘러싸인 직사각형의 두 배의 합과 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ·
공통인 DB 상에 그려진 정사각형이 더해졌다고 하자.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ.
그러므로 GD, DB 상에 그려진 정사각형들의 합은 GA, AD, DB 상에 그려진 정사각형들의 합과 GA, AD로 둘러싸인 직사각형의 두 배의 합과 같다.
ἀλλὰ τοῖς μὲν ἀπὸ τῶν ΓΔ, ΔΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Δ γωνία·
그런데 GD, DB 상에 그려진 정사각형들의 합에 GB 상에 그려진 정사각형이 같다(왜냐하면 D에서의 각이 직각이기 때문이다).
τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΑΔ, ΔΒ ἴσον τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
또한 AD, DB 상에 그려진 정사각형들의 합에 AB 상에 그려진 정사각형이 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ·
그러므로 GB 상에 그려진 정사각형은 GA, AB 상에 그려진 정사각형들의 합과 GA, AD로 둘러싸인 직사각형의 두 배의 합과 같다.
ὥστε τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ τετράγωνον τῶν ἀπὸ τῶν ΓΑ, ΑΒ τετραγώνων μεῖζόν ἐστι τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΓΑ, ΑΔ περιεχομένῳ ὀρθογωνίῳ.
따라서 GB 상에 그려진 정사각형은 GA, AB 상에 그려진 정사각형들의 합보다 GA, AD로 둘러싸인 직사각형의 두 배만큼 더 크다.
ἐν ἄρα τοῖς ἀμβλυγωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον μεῖζόν ἐστι τῶν ἀπὸ τῶν τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνων τῷ περιεχομένῳ δὶς ὑπό τε μιᾶς τῶν περὶ τὴν ἀμβλεῖαν γωνίαν, ἐφʼ ἣν ἡ κάθετος πίπτει, καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ἐκτὸς ὑπὸ τῆς καθέτου πρὸς τῇ ἀμβλείᾳ γωνίᾳ·
그러므로 둔각삼각형에서 둔각을 마주 보는 변 상에 그려진 정사각형은, 둔각을 끼고 있는 변들 상에 그려진 정사각형들의 합보다, 둔각을 끼고 있는 변들 중 수선이 떨어지는 쪽의 한 변과, 수선에 의해 둔각의 바깥쪽으로 잘려 나간 선분으로 둘러싸인 직사각형의 두 배만큼 더 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.