§13.prop.8ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς δύο γωνίας ὑποτείνωσιν εὐθεῖαι, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνουσιν ἀλλήλας, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.
等辺かつ等角の五角形において、連続する2つの角に2つの直線が対向して引かれるならば、それらは互いに外中比に交わり、それらの大きい方の線分は五角形の辺に等しい。
πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τοῦ ΑΒΓ ΔΕ δύο γωνίας τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς τὰς πρὸς τοῖς Α, Β ὑποτεινέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΕ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Θ σημεῖον·
なぜなら、等辺等角な五角形ABCDEにおいて、連続する2つの角、すなわちA, Bにおける角に対して、2つの直線AC, BEが対向して引かれ、点Θにおいて互いに交わっているとせよ。
λέγω, ὅτι ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ σημεῖον, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.
私は、それらのそれぞれが点Θにおいて外中比に切られ、それらの大きい方の線分は五角形の辺に等しい、と主張する。
περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖς ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
なぜなら、五角形ABCDEの外側に円ABCDEが外接されるとせよ。 そして、2つの直線EA, ABは2つの直線AB, BCに等しく、かつ等しい角を挟んでいるので、したがって底辺BEは底辺ACに等しく、三角形ABEは三角形ABCに等しく、残りの角は等しい辺が対向する残りの角にそれぞれ等しい。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΕ·
したがって、角BACは角ABEに等しい。
διπλῆ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΘΕ τῆς ὑπὸ ΒΑΘ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ περιφέρεια ἡ ΕΔΓ περιφερείας τῆς ΓΒ ἐστι διπλῆ·
したがって、角AΘEは角BAΘの2倍である。 また、弧EΔCは弧ΓBの2倍であるから、角EAΓもまた角BACの2倍である。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΘΕ·
したがって、角ΘAEは角AΘEに等しい。
ὥστε καὶ ἡ ΘΕ εὐθεῖα τῇ ΕΑ, τουτέστι τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση.
したがって、直線ΘEもまたEAに、すなわちABに等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ εὐθεῖα τῇ ΑΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐδείχθη ἴση·
そして、直線BAはAEに等しいので、角ABEも角AEBに等しい。 しかし、角ABEは角BAΘに等しいことが示された。
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐστιν ἴση.
したがって、角BEAもまた角BAΘに等しい。
καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΕ καὶ τοῦ ΑΒΘ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ·
そして、2つの三角形ABEとABΘにおいて角ABEは共通である。
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΘΒ ἐστιν ἴση·
したがって、残りの角BAEは残りの角AΘBに等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΘ τριγώνῳ·
したがって、三角形ABEは三角形ABΘと等角である。
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΘ. ἴση δὲ ἡ ΒΑ τῇ ΕΘ·
したがって、EB がBAに対するように、ABがBΘに対する、という比が成り立つ。 しかし、BAはEΘに等しい。
ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΕ τῆς ΕΘ·
したがって、BEがEΘに対するように、EΘがΘBに対する。 しかし、BEはEΘより大きい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΘΒ. ἡ ΒΕ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΘΕ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.
したがって、EΘもまたΘBより大きい。 したがって、BEはΘにおいて外中比に切られており、その大きい方の線分ΘEは五角形の辺に等しい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμα ἡ ΓΘ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ·
同様にして、ACもまたΘにおいて外中比に切られており、その大きい方の線分ΓΘは五角形の辺に等しいことを示す。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。