§13.prop.8ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς δύο γωνίας ὑποτείνωσιν εὐθεῖαι, ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμνουσιν ἀλλήλας, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.
만약 등변 등각 오각형에서 연속한 두 각을 직선들이 대하고 있다면, 그 직선들은 서로를 외중비로 자르며, 그것들의 더 큰 선분은 오각형의 한 변과 같다.
πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου καὶ ἰσογωνίου τοῦ ΑΒΓ ΔΕ δύο γωνίας τὰς κατὰ τὸ ἑξῆς τὰς πρὸς τοῖς Α, Β ὑποτεινέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΒΕ τέμνουσαι ἀλλήλας κατὰ τὸ Θ σημεῖον·
등변 등각 오각형 ABCDE에서 연속한 두 각, 즉 A, B에서의 각들을 직선 AC, BE가 대하고 있으며, 점 Θ에서 서로 만난다고 하자.
λέγω, ὅτι ἑκατέρα αὐτῶν ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ σημεῖον, καὶ τὰ μείζονα αὐτῶν τμήματα ἴσα ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.
나는 그것들의 각각이 점 Θ에서 외중비로 잘리며, 그것들의 더 큰 선분은 오각형의 한 변과 같다고 주장한다.
περιγεγράφθω γὰρ περὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον κύκλος ὁ ΑΒΓΔΕ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖς ΑΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΑΓ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν.
왜냐하면 오각형 ABCDE의 외부에 원 ABCDE를 외접시켜라. 그리고 두 직선 EA, AB가 두 직선 AB, BC와 같고 같은 각들을 끼고 있으므로, 그러므로 밑변 BE는 밑변 AC와 같고, 삼각형 ABE는 삼각형 ABC와 같으며, 나머지 각들은 같은 변들이 대하는 나머지 각들과 각각 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΕ·
그러므로 각 BAC는 각 ABE와 같다.
διπλῆ ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΘΕ τῆς ὑπὸ ΒΑΘ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΕΑΓ τῆς ὑπὸ ΒΑΓ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ περιφέρεια ἡ ΕΔΓ περιφερείας τῆς ΓΒ ἐστι διπλῆ·
그러므로 각 AΘE는 각 BAΘ의 두 배이다. 그런데 호 EΔC가 호 ΓB의 두 배이므로, 각 EAΓ도 각 BAC의 두 배이다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΘΕ·
그러므로 각 ΘAE는 각 AΘE와 같다.
ὥστε καὶ ἡ ΘΕ εὐθεῖα τῇ ΕΑ, τουτέστι τῇ ΑΒ ἐστιν ἴση.
그러므로 직선 ΘE도 EA와 같고, 즉 AB와 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ εὐθεῖα τῇ ΑΕ, ἴση ἐστὶ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ. ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐδείχθη ἴση·
그리고 직선 BA가 AE와 같으므로, 각 ABE도 각 AEB와 같다. 그런데 각 ABE는 각 BAΘ와 같음이 증명되었다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΑ ἄρα τῇ ὑπὸ ΒΑΘ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 BEA도 각 BAΘ와 같다.
καὶ κοινὴ τῶν δύο τριγώνων τοῦ τε ΑΒΕ καὶ τοῦ ΑΒΘ ἐστιν ἡ ὑπὸ ΑΒΕ·
그리고 각 ABE는 두 삼각형 ABE와 ABΘ의 공통 각이다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΑΕ γωνία λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΑΘΒ ἐστιν ἴση·
그러므로 나머지 각 BAE는 나머지 각 AΘB와 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΒΘ τριγώνῳ·
그러므로 삼각형 ABE는 삼각형 ABΘ와 닮음(등각)이다.
ἀνάλογον ἄρα ἐστὶν ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΘ. ἴση δὲ ἡ ΒΑ τῇ ΕΘ·
그러므로 EB가 BA에 대한 비는 AB가 BΘ에 대한 비와 같다. 그런데 BA는 EΘ와 같다.
ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΒ. μείζων δὲ ἡ ΒΕ τῆς ΕΘ·
그러므로 BE가 EΘ에 대한 비는 EΘ가 ΘB에 대한 비와 같다. 그런데 BE는 EΘ보다 크다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΕΘ τῆς ΘΒ. ἡ ΒΕ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ ΘΕ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ.
그러므로 EΘ도 ΘB보다 크다. 그러므로 BE는 Θ에서 외중비로 잘려 있으며, 더 큰 선분 ΘE는 오각형의 한 변과 같다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Θ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμα ἡ ΓΘ ἴσον ἐστὶ τῇ τοῦ πενταγώνου πλευρᾷ·
마찬가지로 AC도 Θ에서 외중비로 잘려 있으며, 그것의 더 큰 선분 ΓΘ는 오각형의 한 변과 같음을 보일 것이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.