§13.prop.7ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἤτοι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς ἢ αἱ μὴ κατὰ τὸ ἑξῆς ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον.
等辺五角形の3つの角が、連続しているか、あるいは連続していないかで、互いに等しいならば、その五角形は等角である。
πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου τοῦ ΑΒΓΔΕ αἱ τρεῖς γωνίαι πρότερον αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ ἴσαι ἀλλήλαις ἔστωσαν·
等辺五角形ABCDEにおいて、まず連続する3つの角、すなわちA, B, Cにおける角が互いに等しいとせよ。
λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
私は、五角形ABCDEは等角である、と主張する。
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΕ, ΖΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΓΒ, ΒΑ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΒ·
なぜなら、AC, BE, ZDを結べ。 そして、2つの直線CB, BAは2つの直線BA, AEにそれぞれ等しく、かつ角CBAは角BAEに等しいので、したがって底辺ACは底辺BEに等しく、三角形ABCは三角形ABEに等しく、残りの角は等しい辺が対向する残りの角にそれぞれ等しい。 すなわち角BCAは角BEAに、角ABEは角CABに等しい。
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΖ πλευρᾷ τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση.
したがって、辺AZもまた辺BZに等しい。
ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΓ ὅλῃ τῇ ΒΕ ἴση·
しかし、全体ACは全体BEに等しいことが示された。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΓ λοιπῇ τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση.
したがって残りのZCもまた残りのZEに等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ ἴση.
そして、CDもまたDEに等しい。
δύο δὴ αἱ ΖΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν·
よって、2つの直線ZC, CDは2つの直線ZE, EDに等しい。
καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ·
そして、それらの底辺ZDは共通である。
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΔ ἐστιν ἴση.
したがって、角 ZCDは角ZEDに等しい。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση·
そして、角BCAも角AEBに等しいことが示された。
καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἴση.
したがって、全体の角BCDも全体の角AEDに等しい。
ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ὑπόκειται ταῖς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίαις·
しかし角BCDはA, Bにおける角に等しいと仮定されている。
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα ταῖς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίαις ἴση ἐστίν.
したがって、角AEDもA, Bにおける角に等しい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Β, Γ γωνίαις·
同様にして、角CDEもまたA, B, Cにおける角に等しいことを示す。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
したがって、五角形ABCDEは等角である。
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν ἴσαι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς γωνίαι, ἀλλʼ ἔστωσαν ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς Α, Γ, Δ σημείοις·
しかし、これらが連続する角ではなく、A, C, Dの点における角が等しいとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
私は、このようにしても五角形ABCDEは等角である、と主張する。
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΑ, ΑΕ δυσὶ ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
なぜなら、BDを結べ。 そして、 2つの直線BA, AEは2つの直線BC, CDに等しく、等しい角を挟んでいるので、したがって底辺BEは底辺BDに等しく、三角形ABEは三角形BCDに等しく、残りの角は等しい辺が対向する残りの角に等しい。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΕ πλευρᾷ τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση.
したがって、角AEBは角CDBに等しい。 そして、辺BEが辺BDに等しいので、角BEDもまた角BDEに等しい。
καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση.
したがって、全体の角AEDも全体の角CDEに等しい。
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ γωνίαις ὑπόκειται ἴση·
しかし、角CDEはA, Cにおける角に等しいと仮定されている。
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα γωνία ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ ἴση ἐστίν.
したがって、角AEDもまたA, Cにおける角に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ, Δ γωνίαις.
同じ理由により、角ABCもまたA, C, Dにおける角に等しい。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον·
したがって、五角形ABCDEは等角である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。