§13.prop.6ἐὰν εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
もし有理直線が外中比に分けられるならば、それぞれの線分はアポトメーと呼ばれる無理線である。
ἔστω εὐθεῖα ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ·
有理直線ABがあるとし、Cにおいて外中比に分けられるとし、大きい方の線分をACとせよ。
λέγω, ὅτι ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
私は、AC, CBのそれぞれはアポトメーと呼ばれる無理線である、と主張する。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῆς ΒΑ ἡμίσεια ἡ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μείζονι τμήματι τῷ ΑΓ πρόσκειται ἡ ΑΔ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ τοῦ ἀπὸ ΔΑ πενταπλάσιόν ἐστιν.
なぜなら、BAが延長され、BAの半分に等しいADが置かれよ。 さて、直線ABはCにおいて外中比に分けられており、大きい方の線分ACに、 ABの半分であるADが加えられているので、したがってGDの上の正方形はDAの上の正方形の5倍である。
τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
したがって、GDの上の正方形はDAの上の正方形に対して、数に対する数としての比を持つ。
σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΔΑ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ ΔΑ·
したがって、GDの上の正方形はDAの上の正方形と通約可能である。 しかし、DAの上の正方形は有理である。
ῥητὴ γὰρ ἡ ΔΑ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ ῥητῆς οὔσης·
なぜなら、DAは有理であるABの半分であって、有理だからである。
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ·
したがって、 GDの上の正方形もまた有理である。
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρος ἄρα μήκει ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ·
したがって、GDもまた有理である。 そして、GDの上の正方形はDAの上の正方形に対して、平方数に対する平方数としての比を持たないので、したがってGDはDAと長さにおいて通約不可能である。
αἱ ΓΔ, ΔΑ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
したがって、GD, DAは平方においてのみ通約可能な有理直線である。
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστίν.
したがって、ACはアポトメーである。 再び、ABは外中比に分けられており、大きい方の線分はACであるので、したがってAB, BCによって囲まれる長方形はACの上の正方形に等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀποτομῆς παρὰ τὴν ΑΒ ῥητὴν παραβληθὲν πλάτος ποιεῖ τὴν ΒΓ. τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην·
したがって、アポトメーACの上の正方形が有理直線ABに沿って適用されるとき、幅としてBCを作る。 しかし、アポトメーの上の正方形が有理直線に沿って適用されるとき、幅として第1アポトメーを作る。
ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΓΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ ἀποτομή.
したがって、GBは第1アポトメーである。 そして、GAもまたアポトメーであることが示された。
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή·
したがって、もし有理直線が外中比に分けられるならば、それぞれの線分はアポトメーと呼ばれる無理線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。