§13.prop.7ἐὰν πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἤτοι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς ἢ αἱ μὴ κατὰ τὸ ἑξῆς ἴσαι ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον.
만약 등변 오각형의 세 각이 연속하든 연속하지 않든 서로 같다면, 그 오각형은 등각 오각형이다.
πενταγώνου γὰρ ἰσοπλεύρου τοῦ ΑΒΓΔΕ αἱ τρεῖς γωνίαι πρότερον αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς αἱ πρὸς τοῖς Α, Β, Γ ἴσαι ἀλλήλαις ἔστωσαν·
등변 오각형 ABCDE에서 먼저 연속한 세 각, 즉 A, B, C에서의 각들이 서로 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
나는 오각형 ABCDE가 등각 오각형이라고 주장한다.
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΓ, ΒΕ, ΖΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΓΒ, ΒΑ δυσὶ ταῖς ΒΑ, ΑΕ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΒΑ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΑΓ βάσει τῇ ΒΕ ἐστιν ἴση, καὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΕ τριγώνῳ ἴσον, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν, ἡ μὲν ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΕΑ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΕ τῇ ὑπὸ ΓΑΒ·
왜냐하면 AC, BE, ZD를 이어라. 그리고 두 선분 CB, BA가 두 선분 BA, AE와 각각 같고, 각 CBA가 각 BAE와 같으므로, 그러므로 밑변 AC는 밑변 BE와 같고, 삼각형 ABC는 삼각형 ABE와 같으며, 나머지 각들은 같은 변들이 대하는 나머지 각들과 각각 같을 것이다. 즉, 각 BCA는 각 BEA와 같고, 각 ABE는 각 CAB와 같다.
ὥστε καὶ πλευρὰ ἡ ΑΖ πλευρᾷ τῇ ΒΖ ἐστιν ἴση.
그러므로 변 AZ도 변 BZ와 같다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΓ ὅλῃ τῇ ΒΕ ἴση·
그런데 전체 AC도 전체 BE와 같음이 증명되었다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΖΓ λοιπῇ τῇ ΖΕ ἐστιν ἴση.
그러므로 나머지 ZC도 나머지 ZE와 같다.
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΓΔ τῇ ΔΕ ἴση.
그리고 CD도 DE와 같다.
δύο δὴ αἱ ΖΓ, ΓΔ δυσὶ ταῖς ΖΕ, ΕΔ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 두 선분 ZC, CD는 두 선분 ZE, ED와 같다.
καὶ βάσις αὐτῶν κοινὴ ἡ ΖΔ·
그리고 그것들의 밑변 ZD는 공통이다.
γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΖΓΔ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΕΔ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 ZCD는 각 ZED와 같다.
ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΑΕΒ ἴση·
그리고 각 BCA도 각 AEB와 같음이 증명되었다.
καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΑΕΔ ἴση.
그러므로 전체 각 BCD도 전체 각 AED와 같다.
ἀλλʼ ἡ ὑπὸ ΒΓΔ ἴση ὑπόκειται ταῖς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίαις·
그런데 각 BCD는 A, B에서의 각들과 같다고 가정되어 있다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα ταῖς πρὸς τοῖς Α, Β γωνίαις ἴση ἐστίν.
그러므로 각 AED도 A, B에서의 각들과 같다.
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ γωνία ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Β, Γ γωνίαις·
마찬가지로 각 CDE도 아포토메임이 증명된 것처럼 A, B, C에서의 각들과 같음을 보일 것이다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
그러므로 오각형 ABCDE는 등각 오각형이다.
ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν ἴσαι αἱ κατὰ τὸ ἑξῆς γωνίαι, ἀλλʼ ἔστωσαν ἴσαι αἱ πρὸς τοῖς Α, Γ, Δ σημείοις·
그런데 이제 연속한 각들이 같지 않고, A, C, D 점에서의 각들이 같다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον.
나는 이렇게 해도 오각형 ABCDE가 등각 오각형이라고 주장한다.
ἐπεζεύχθω γὰρ ἡ ΒΔ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΑ, ΑΕ δυσὶ ταῖς ΒΓ, ΓΔ ἴσαι εἰσὶ καὶ γωνίας ἴσας περιέχουσιν, βάσις ἄρα ἡ ΒΕ βάσει τῇ ΒΔ ἴση ἐστίν, καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΒΓΔ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν, καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις ἴσαι ἔσονται, ὑφʼ ἃς αἱ ἴσαι πλευραὶ ὑποτείνουσιν·
왜냐하면 BD를 이어라. 그리고 두 선분 BA, AE가 두 선분 BC, CD와 같고 같은 각들을 끼고 있으므로, 그러므로 밑변 BE는 밑변 BD와 같고, 삼각형 ABE는 삼각형 BCD와 같으며, 나머지 각들은 같은 변들이 대하는 나머지 각들과 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΕΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΓΔΒ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΒΕΔ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΔΕ ἴση, ἐπεὶ καὶ πλευρὰ ἡ ΒΕ πλευρᾷ τῇ ΒΔ ἐστιν ἴση.
그러므로 각 AEB는 각 CDB와 같다. 그리고 변 BE가 변 BD와 같으므로 각 BED도 각 BDE와 같다.
καὶ ὅλη ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΕΔ γωνία ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΓΔΕ ἐστιν ἴση.
그러므로 전체 각 AED도 전체 각 CDE와 같다.
ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΓΔΕ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ γωνίαις ὑπόκειται ἴση·
그런데 각 CDE는 A, C에서의 각들과 같다고 가정되어 있다.
καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΔ ἄρα γωνία ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ ἴση ἐστίν.
그러므로 각 AED도 A, C에서의 각들과 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΓ ἴση ἐστὶ ταῖς πρὸς τοῖς Α, Γ, Δ γωνίαις.
같은 이유로 각 ABC도 A, C, D에서의 각들과 같다.
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓΔΕ πεντάγωνον·
그러므로 오각형 ABCDE는 등각 오각형이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.