§13.prop.5ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ·
直線ABがあるとし、Cにおいて外中比に分けられるとし、大きい方の線分をACとせよ。
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
私は、AB, BCの上の正方形の和は、GAの上の正方形の3倍である、と主張する。 なぜなら、ABから正方形ADEBが描かれ、図形が作図されよ。
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΑΚ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΘΗ·
さて、ABはCにおいて外中比に分けられており、大きい方の線分はACであるので、したがってAB, BCによって囲まれる長方形はACの上の正方形に等しい。 そして、AB, BCによって囲まれる長方形はAKであり、ACの上の正方形はThHである。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΚ·
したがってAKはThHに等しい。 そして、AZはZEに等しいので、共通のものとしてGKが加えられよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΚ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἐστιν ἴσον·
したがって全体AKは全体GEに等しい。
τὰ ἄρα ΑΚ, ΓΕ τοῦ ΑΚ ἐστι διπλάσια.
したがってAK, GEの和はAKの 2倍である。
ἀλλὰ τὰ ΑΚ, ΓΕ ὁ ΛΜΝ γνώμων ἐστὶ καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον·
しかし、AK, GEの和はグノモンLMNと正方形GKである。
ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ ἐδείχθη ἴσον·
したがってグノモンLMNと正方形GKはAKの2倍である。 しかしまた、AKはThHに等しいと示された。
ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ τετραγώνου.
したがってグノモンLMNと正方形GK, ThHの和は、正方形ThHの3倍である。
καί ἐστιν ὁ ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα ὅλον τὸ ΑΕ καὶ τὸ ΓΚ, ἅπερ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τὸ δὲ ΗΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον.
そして、グノモンLMNと正方形GK, ThHの和は全体AEとGKであり、それらはAB, BCの上の正方形であり、HThはACの上の正方形である。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου·
したがって、AB, BCの上の正方形はACの上の正方形の3倍である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, καὶ προστεθῇ αὐτῇ ἴση τῷ μείζονι τμήματι, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα.
もし直線が外中比に分けられ、それに大きい方の線分に等しい直線が加えられるならば、全体の直線は外中比に分けられており、大きい方の線分は最初の直線である。
εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ, καὶ τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα ἡ ΑΒ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
なぜなら、直線ABが点Cにおいて外中比に分けられるとし、大きい方の線分をACとし、ACにADが等しいとせよ。 私は、直線DBは点Aにおいて外中比に分けられており、大きい方の線分は最初の直線ABである、と主張する。 なぜなら、ABから正方形AEが描かれ、図形が作図されよ。
ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΓΘ·
ABはCにおいて外中比に分けられているので、したがってAB, BCによって囲まれる長方形はACの上の正方形に等しい。 そして、AB, BCによって囲まれる長方形はGEであり、ACの上の正方形はGThである。
ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΘΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΕ, τῷ δὲ ΘΓ ἴσον τὸ ΔΘ·
したがって、GEはThGに等しい。 しかし、 GEにThEが等しく、ThGにDThが等しい。
καὶ τὸ ΔΘ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΕ.
したがってDThもThEに等しい。
ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ὅλῳ τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον.
したがって全体DKは全体AEに等しい。
καί ἐστι τὸ μὲν ΔΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ· ἴση γὰρ ἡ ΑΔ τῇ ΔΛ· τὸ δὲ ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
そして、 DKはBD, DAによって囲まれる長方形であり（なぜならADはDLに等しいから）、AEはABの上の正方形である。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆς ΒΑ·
したがって、BD, DAによって囲まれる長方形は ABの上の正方形に等しい。 したがって、DBがBAに対するように、BAがADに対する。 そしてDBはBAよりも大きい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ.
ἡ ἄρα ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ·
したがってBAもADよりも大きい。 したがって、DBは点Aにおいて外中比に分けられており、大きい方の線分はABである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。