§13.prop.6ἐὰν εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
만약 유리 선분이 외중비로 나누어진다면, 각각의 선분은 아포토메라고 불리는 무리 선분이다.
ἔστω εὐθεῖα ῥητὴ ἡ ΑΒ καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ·
유리 선분 AB가 있고, C 점에서 외중 비로 나누어지게 하고, 더 큰 선분을 AC라 하라.
λέγω, ὅτι ἑκατέρα τῶν ΑΓ, ΓΒ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
나는 AC, CB의 각각이 아포토메라고 불리는 무리 선분이라고 주장한다.
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῆς ΒΑ ἡμίσεια ἡ ΑΔ. ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἡ ΑΒ τέτμηται ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ τῷ μείζονι τμήματι τῷ ΑΓ πρόσκειται ἡ ΑΔ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ τοῦ ἀπὸ ΔΑ πενταπλάσιόν ἐστιν.
왜냐하면 BA가 연장되게 하고, BA의 절반과 같은 AD를 놓아라. 그러므로 선분 AB가 C 점에서 외중비로 나누어져 있고, 더 큰 선분 AC에 AB의 절반인 AD가 더해졌으므로, 그러므로 GD 위의 정사각형은 DA 위의 정사각형의 5배이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον ἔχει, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν·
그러므로 GD 위의 정사각형은 DA 위의 정사각형에 대하여 수가 수에 대한 비를 가진다.
σύμμετρον ἄρα τὸ ἀπὸ ΓΔ τῷ ἀπὸ ΔΑ. ῥητὸν δὲ τὸ ἀπὸ ΔΑ·
그러므로 GD 위의 정사각형은 DA 위의 정사각형과 통약 가능하다. 그러나 DA 위의 정사각형은 유리하다.
ῥητὴ γὰρ ἡ ΔΑ ἡμίσεια οὖσα τῆς ΑΒ ῥητῆς οὔσης·
왜냐하면 DA는 유리 선분 AB의 절반이어서 유리하기 때문이다.
ῥητὸν ἄρα καὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ·
그러므로 GD 위의 정사각형도 유리하다.
ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΔ. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ ΓΔ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΑ λόγον οὐκ ἔχει, ὃν τετράγωνος ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν, ἀσύμμετρος ἄρα μήκει ἡ ΓΔ τῇ ΔΑ·
그러므로 GD도 또한 유리하다. 그리고 GD 위의 정사각형은 DA 위의 정사각형에 대하여 제곱수가 제곱수에 대한 비를 가지지 않으므로, 그러므로 GD는 DA와 길이로 통약 불가능하다.
αἱ ΓΔ, ΔΑ ἄρα ῥηταί εἰσι δυνάμει μόνον σύμμετροι·
그러므로 GD, DA는 제곱으로만 통약 가능한 유리 선분들이다.
ἀποτομὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ. πάλιν, ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒ, ΒΓ τῷ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστίν.
그러므로 AC는 아포토메이다. 다시, AB가 외중비로 나누어져 있고 더 큰 선분은 AC이므로, 그러므로 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 AC 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΑΓ ἀποτομῆς παρὰ τὴν ΑΒ ῥητὴν παραβληθὲν πλάτος ποιεῖ τὴν ΒΓ. τὸ δὲ ἀπὸ ἀποτομῆς παρὰ ῥητὴν παραβαλλόμενον πλάτος ποιεῖ ἀποτομὴν πρώτην·
그러므로 아포토메 AC 위의 정사각형이 유리 선분 AB에 따라 적용될 때 너비로 BC를 만든다. 그런데 아포토메 위의 정사각형이 유리 선분에 따라 적용될 때 너비로 제1 아포토메를 만든다.
ἀποτομὴ ἄρα πρώτη ἐστὶν ἡ ΓΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ἡ ΓΑ ἀποτομή.
그러므로 GB는 제1 아포토메이다. 그리고 GA도 아포토메임이 증명되었다.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ῥητὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή·
그러므로 만약 유리 선분이 외중비로 나누어진다면, 각각의 선분은 아포토메라고 불리는 무리 선분이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.