§13.prop.5ἔστω εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Γ, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ·
선분 AB가 있고, C 점에서 외중비로 나누어지게 하고, 더 큰 선분을 AC라 하라.
λέγω, ὅτι τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΔΕΒ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
나는 AB, BC 위의 정사각형들의 합이 GA 위의 정사각형의 3배라고 주장한다. 왜냐하면 AB 위에 정사각형 ADEB가 그려지게 하고, 도형이 작도되게 하라.
ἐπεὶ οὖν ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΓ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΑΚ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΘΗ·
그러므로 AB가 C 점에서 외중 비로 나누어져 있고 더 큰 선분은 AC이므로, 그러므로 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 AC 위의 정사각형과 같다. 그리고 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 AK이고, AC 위의 정사각형은 ThH이므로, 그러므로 AK는 ThH와 같다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΖ τῷ ΖΕ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΚ·
그리고 AZ는 ZE와 같으므로, 공통인 GK가 더해지게 하라.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΚ ὅλῳ τῷ ΓΕ ἐστιν ἴσον·
그러므로 전체 AK는 전체 GE와 같다.
τὰ ἄρα ΑΚ, ΓΕ τοῦ ΑΚ ἐστι διπλάσια.
그러므로 AK, GE의 합은 AK의 2배이다.
ἀλλὰ τὰ ΑΚ, ΓΕ ὁ ΛΜΝ γνώμων ἐστὶ καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον·
그러나 AK, GE의 합은 그노몬 LMN과 정사각형 GK이다.
ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὸ ΓΚ τετράγωνον διπλάσιά ἐστι τοῦ ΑΚ. ἀλλὰ μὴν καὶ τὸ ΑΚ τῷ ΘΗ ἐδείχθη ἴσον·
그러므로 그노몬 LMN과 정사각형 GK는 AK의 2배이다. 그러나 또한 AK는 ThH와 같음이 증명되었다.
ὁ ἄρα ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ΘΗ τετραγώνου.
그러므로 그노몬 LMN과 정사각형 GK, ThH의 합은 정사각형 ThH의 3배이다.
καί ἐστιν ὁ ΛΜΝ γνώμων καὶ τὰ ΓΚ, ΘΗ τετράγωνα ὅλον τὸ ΑΕ καὶ τὸ ΓΚ, ἅπερ ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα, τὸ δὲ ΗΘ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετράγωνον.
그리고 그노몬 LMN과 정사각형 GK, ThH의 합은 전체 AE와 GK이며, 이것들은 AB, BC 위의 정사각형들이고, HTh는 AC 위의 정사각형이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ τετραγώνου·
그러므로 AB, BC 위의 정사각형들은 AC 위의 정사각형의 3배 이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.
ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, καὶ προστεθῇ αὐτῇ ἴση τῷ μείζονι τμήματι, ἡ ὅλη εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα.
만약 선분이 외중비로 나누어지고, 그것에 더 큰 선분과 같은 선분이 더해진다면, 전체 선분은 외중비로 나누어져 있고, 더 큰 선분은 처음의 선분이다.
εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα ἡ ΑΓ, καὶ τῇ ΑΓ ἴση ἡ ΑΔ. λέγω, ὅτι ἡ ΔΒ εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ἐξ ἀρχῆς εὐθεῖα ἡ ΑΒ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω τὸ σχῆμα.
왜냐하면 선분 AB가 C 점에서 외중비로 나누어지게 하고, 더 큰 선분을 AC라 하며, AC에 AD가 같게 하라. 나는 선분 DB가 A 점에서 외중비로 나누어져 있고, 더 큰 선분은 처음의 선분 AB라고 주장한다. 왜냐하면 AB 위에 정사각형 AE가 그려지게 하고, 도형이 작도되게 하라.
ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΓΘ·
AB는 C 점에서 외중비로 나누어져 있으므로, 그러므로 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 AC 위의 정사각형과 같다. 그리고 AB, BC에 의해 둘러싸인 직사각형은 GE이고, AC 위의 정사각형은 GTh이므로, 그러므로 GE는 ThG와 같다.
ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΘΓ. ἀλλὰ τῷ μὲν ΓΕ ἴσον ἐστὶ τὸ ΘΕ, τῷ δὲ ΘΓ ἴσον τὸ ΔΘ·
그러나 GE에는 ThE가 같고, ThG에는 DTh가 같다.
καὶ τὸ ΔΘ ἄρα ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΕ.
그러므로 DTh도 ThE와 같다.
ὅλον ἄρα τὸ ΔΚ ὅλῳ τῷ ΑΕ ἐστιν ἴσον.
그러므로 전체 DK는 전체 AE와 같다.
καί ἐστι τὸ μὲν ΔΚ τὸ ὑπὸ τῶν ΒΔ, ΔΑ· ἴση γὰρ ἡ ΑΔ τῇ ΔΛ· τὸ δὲ ΑΕ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ·
그리고 DK는 BD, DA에 의해 둘러싸인 직사각형이며（왜냐하면 AD는 DL과 같으므로）, AE는 AB 위의 정사각형이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΒΔΑ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΒ τῆς ΒΑ·
그러므로 BD, DA에 의해 둘러싸인 직사각형은 AB 위의 정사각형과 같다. 그러므로 DB가 BA에 대한 비는 BA가 AD에 대한 비와 같다. 그리고 DB는 BA보다 크다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ.
ἡ ἄρα ΔΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Α, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΑΒ·
그러므로 BA도 AD보다 크다. 그러므로 DB는 A 점에서 외중비로 나누어져 있고, 더 큰 선분은 AB이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.