Humanitext Reader

エウクレイデス · 原論 §13.prop.3-13.prop.4

外中比の線分における正方形の5倍と3倍の関係

296 / 316 箇所 · ギリシア語

要旨

第13巻命題3では、外中比に分けられた直線の小さい方の部分に大きい方の部分の半分を加えた線分の上の正方形が、その半分の線分の上の正方形の5倍に等しいことを証明し、命題4では、全体と小さい方の部分の上の正方形の和が大きい方の部分の上の正方形の3倍であることを主張する。

§13.prop.3ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἔλασσον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήματος πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείζονος τμήματος τετραγώνου.
もし直線が外中比に分けられるならば、小さい方の線分は、大きい方の線分の半分を加えられるとき、大きい方の線分の半分の上の正方形の5倍に等しい正方形を作る。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ·
なぜなら、ある直線ABが点Cにおいて外中比に分けられるとし、大きい方の線分をACとし、ACが点Dにおいて2等分されよ。
λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα.
私は、BDの上の正方形はDGの上の正方形の5倍である、と主張する。 なぜなら、ABから正方形AEが描かれ、 2倍の図形が作図されよ。
ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΔΓ, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ, τουτέστι τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ ἄρα ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ΡΣ. τετραπλάσιον δὲ τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ·
ACはDGの2倍であるので、したがってACの上の正方形はDGの上の正方形の4倍、すなわちRSはZHの4倍である。 そして、AB, BCによって囲まれる長方形はACの上の正方形に等しく、AB, BCによって囲まれる長方形はGEであるので、したがってGEはRSに等しい。 そしてRSはZHの4倍である。
τετραπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΓΕ τοῦ ΖΗ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΚΖ. ὥστε καὶ τὸ ΗΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΛ τετραγώνῳ.
したがってGEもZHの4倍である。 再び、ADはDGに等しいので、ThKもKZに等しい。 したがって正方形HZも正方形ThLに等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΗΚ τῇ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΕ·
したがってHKはKLに等しく、すなわちMNはNEに等しい。
ὥστε καὶ τὸ ΜΖ τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον.
したがってMZもZEに等しい。
ἀλλὰ τὸ ΜΖ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον·
しかし、MZは GHに等しい。
καὶ τὸ ΓΗ ἄρα τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον.
したがってGHもZEに等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΝ·
共通のものとしてGNが加えられよ。
ὁ ἄρα ΞΟΠ γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ΓΕ. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τετραπλάσιον ἐδείχθη τοῦ ΗΖ·
したがってグノモンXOPはGEに等しい。 しかし、GEは HZの4倍であると示された。
καὶ ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ τετραγώνου.
したがってグノモンXOPも正方形ZHの4倍である。
ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πενταπλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ. ἀλλὰ ὁ ΞΟΠ γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΝ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΝ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ, τὸ δὲ ΗΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΒ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ·
したがって、グノモンXOPと正方形ZHの和は ZHの5倍である。 しかし、グノモンXOPと正方形ZHの和はDNである。 そして、DNはDBの上の正方形であり、HZはDGの上の正方形である。 したがって、DBの上の正方形はDGの上の正方形の5倍である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。
§13.prop.4ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, τὰ συναμφότερα τετράγωνα, τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος τετραγώνου.
もし直線が外中比に分けられるならば、全体の上の正方形と小さい方の線分の上の正方形の両方の和は、大きい方の線分の上の正方形の3倍である。

語釈・文法注

  1. 13.prop.3προσλαβὸν ... πενταπλάσιον δύναται — 分詞 `προσλαβὸν` は主語である `τὸ ἔλασσον τμῆμα`（小さい方の線分）に一致し、付帯状況または条件を表す。動詞 `δύναται` はここでは『正方形の面積において〜に等しい』『〜に等しい正方形を作る力がある』という意味で用いられ、主語の線分の上の正方形が、属格で示される対象（ここでは『大きい方の線分の半分の上の正方形の5倍』）と等しいことを意味する。
  2. 13.prop.3διπλοῦν τὸ σχῆμα — 『2倍の図形』という表現は、1つの基礎となる図形（ここでは正方形AE）の上に、補助線などを追加して作られる複合的な平行四辺形や図形全体の構成を指す、ユークリッド幾何学の作図における慣用的な表現である。
  3. 13.prop.3τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ — 『AB, BCによって囲まれる長方形』を意味する定型表現。3つの文字 `ΑΒΓ` が並んでいるが、これは1つの線分 AB と、その延長または分割された別の線分 BC（ここでは同一直線上の部分）によって形成される長方形を指す。
  4. 13.prop.3ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πενταπλάσιός ἐστι — 複合主語（男性名詞のグノモン `γνώμων` と中性名詞の正方形 `τετράγωνον`）に対して、動詞 `ἐστι` が3人称単数、補語の形容詞 `πενταπλάσιός` が男性単数（主格）となっている。これは、これら2つの図形の和が1つの数学的・幾何学的対象（全体）として捉えられているか、または先頭の主語（男性名詞 `γνώμων`）に形容詞の性・数が引きずられた（attraction / 牽引）ためである。
  5. 13.prop.4τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, τὰ συναμφότερα τετράγωνα — 冠詞 `τὸ` は単数中性だが、後ろの `τὰ συναμφότερα τετράγωνα`（両方の正方形）と同格関係にある。直訳すると『全体［の線分］とより小さい部分の線分の上の、両方を合わせた複数の正方形』となり、全体の上の正方形と小さい部分の上の正方形の『和』を指す。

この箇所を引用する

エウクレイデス, 原論 §13.prop.3-13.prop.4. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:13.prop.3-13.prop.4

AIによる草稿訳である旨と閲覧日を添えてください。

訳文・注・要旨はAIによる草稿で、読者の指摘により改訂されています。