§13.prop.2ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας.
もし直線がそれ自身の一部の線分の上の正方形の5倍に等しいならば、言及された線分の2倍の長さが外中比に分けられるとき、大きい方の線分は元の直線の残りの部分である。
εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τμήματος ἑαυτῆς τοῦ ΑΓ πενταπλάσιον δυνάσθω, τῆς δὲ ΑΓ διπλῆ ἔστω ἡ ΓΔ·
なぜなら、直線ABがそれ自身の一部の線分ACの上の正方形の5倍に等しいとし、ACの2倍の長さをGDとせよ。
λέγω, ὅτι τῆς ΓΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΓΔ τετράγωνα τὰ ΑΖ, ΓΗ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΑΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ τοῦ ΑΘ. τετραπλάσιος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τοῦ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ, τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΔΓ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ ΑΘ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ ΜΝΞ γνώμων τετραπλάσιος τοῦ ΑΘ·
私は、GDが外中比に分けられるとき、大きい方の線分はGBである、と主張する。 なぜなら、AB, GDのそれぞれから正方形 AZ, GHが描かれ、AZの中に図形が作図され、BEが引かれよ。 そして、BAの上の正方形はACの上の正方形の5倍であるので、AZはAThの5倍である。 したがって、グノモンMNXはAThの4倍である。 画像、そして、DGはGAの2倍であるので、 DGの上の正方形はGAの上の正方形の4倍、すなわちGHはAThの4倍である。 そして、グノモンMNXもAThの4倍であると示された。
ἴσος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τῷ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΘ, διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΚΒ τοῦ ΒΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΒ τοῦ ΘΒ διπλάσια·
したがって、グノモンMNXはGHに等しい。 そして、DGはGAの2倍であり、DGはGKに、ACはGThに等しいので、したがってKBも BThの2倍である。 そして、LTh, ThBもThBの2倍である。
ἴσον ἄρα τὸ ΚΒ τοῖς ΛΘ, ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλος ὁ ΜΝΞ γνώμων ὅλῳ τῷ ΓΗ ἴσος·
したがって、KBはLTh, ThBの和に等しい。 そして、全体のグノモンMNXも全体のGHに等しいと示された。
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ τῷ ΒΗ ἐστιν ἴσον.
したがって、残りのThZもBHに等しい。
καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΒ· ἴση γὰρ ἡ ΓΔ τῇ ΔΗ· τὸ δὲ ΘΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ·
そして、BHはGDBによって囲まれる長方形であり（なぜならGDはDHに等しいから）、ThZはGBの上の正方形である。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΓ τῆς ΓΒ·
したがって、GDBによって囲まれる長方形は GBの上の正方形に等しい。 したがって、DGがGBに対するように、そのようにGBはBDに対する。 そして、DGはGBより大きい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ. τῆς ΓΔ ἄρα εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας·
したがって、GBもBDより大きい。 したがって、直線GDが外中比に分けられるとき、大きい方の線分は GBである。 したがって、もし直線がそれ自身の一部の線分の上の正方形の5倍に等しいならば、言及された線分の2倍の長さが外中比に分けられるとき、大きい方の線分は元の直線の残りの部分である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。
λῆμμα
ὅτι δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΓ, οὕτως δεικτέον.
補題 ACの2倍の長さがGBより大きいことは、次のように示されなければならない。
εἰ γὰρ μή, ἔστω, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ διπλῆ τῆς ΓΑ. τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ·
なぜなら、もしそうでなければ、可能ならば、GBがGAの2倍であるとせよ。 したがって、GBの上の正方形はGAの上の正方形の4倍である。
πενταπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ. ὑπόκειται δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ·
したがって、GB, GAの上の正方形の和はGAの上の正方形の5倍である。 そして、BAの上の正方形もGAの上の正方形の5倍であると仮定されている。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ·
したがって、BAの上の正方形はGB, GAの上の正方形の和に等しい。
ὅπερ ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ διπλασία ἐστὶ τῆς ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ἐλάττων τῆς ΓΒ διπλασίων ἐστὶ τῆς ΓΑ·
したがって、GBはACの2倍ではない。 同様にして、 GBより小さいものもGAの2倍ではないことを示す。
πολλῷ γὰρ τὸ ἄτοπον.
なぜなら、その不条理ははるかに大きいからである。
ἡ ἄρα τῆς ΑΓ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆς ΓΒ·
したがって、ACの2倍の長さはGBより大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。