Humanitext Reader

欧几里得 · 几何原本 §13.prop.3-13.prop.4

外中比分线段中正方形的五倍与三倍关系

第 296 段，共 316 段 · 希腊语

内容简介

第13卷命题3证明了被分成外中比的线段中，较小部分加上较大部分的一半，在其上所作的正方形等于较大部分一半上所作正方形的五倍；命题4指出，整条线段上的正方形与较小部分上的正方形之和等于较大部分上所作正方形的三倍。

§13.prop.3ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἔλασσον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήματος πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείζονος τμήματος τετραγώνου.
如果一条线段被分成外中比，那么较小的部分加上较大部分的一半，其上所作的正方形是较大部分一半上所作正方形的五倍。
εὐθεῖα γάρ τις ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Δ· λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον τὸ ΑΕ, καὶ καταγεγράφθω διπλοῦν τὸ σχῆμα.
因为设任意线段AB在点C被分成外中比，且设较大部分为AC，并设AC在D点被平分；我主张，BD上的正方形是DG上的正方形的五倍。 因为设在AB上描出正方形AE，并在其中作双重图。
ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΔΓ, τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ, τουτέστι τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ. καὶ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ, καί ἐστι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ ἄρα ΓΕ ἴσον ἐστὶ τῷ ΡΣ. τετραπλάσιον δὲ τὸ ΡΣ τοῦ ΖΗ· τετραπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΓΕ τοῦ ΖΗ. πάλιν ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΔ τῇ ΔΓ, ἴση ἐστὶ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΚΖ. ὥστε καὶ τὸ ΗΖ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΘΛ τετραγώνῳ.
因为AC是DG的两倍，所以AC上的正方形是DG上的正方形的四倍，即RS是ZH的四倍。 又因为由AB、BC包围的矩形等于AC上的正方形，且由AB、BC包围的矩形是GE，所以GE等于RS。 而RS是 ZH的四倍；所以GE也是ZH的四倍。 再次，因为AD等于DG，所以ThK也等于KZ。 因此正方形HZ也等于正方形ThL。
ἴση ἄρα ἡ ΗΚ τῇ ΚΛ, τουτέστιν ἡ ΜΝ τῇ ΝΕ· ὥστε καὶ τὸ ΜΖ τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον.
所以HK等于KL，即MN等于NE；因此MZ也等于ZE。
ἀλλὰ τὸ ΜΖ τῷ ΓΗ ἐστιν ἴσον· καὶ τὸ ΓΗ ἄρα τῷ ΖΕ ἐστιν ἴσον.
但MZ等于 GH；所以GH也等于ZE。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΓΝ· ὁ ἄρα ΞΟΠ γνώμων ἴσος ἐστὶ τῷ ΓΕ. ἀλλὰ τὸ ΓΕ τετραπλάσιον ἐδείχθη τοῦ ΗΖ· καὶ ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ τετραγώνου.
设公共的GN被加上；因此磬折形XOP等于GE。 但GE已被证明是 HZ的四倍；所以磬折形XOP也是正方形ZH的四倍。
ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πενταπλάσιός ἐστι τοῦ ΖΗ. ἀλλὰ ὁ ΞΟΠ γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνόν ἐστι τὸ ΔΝ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΝ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΒ, τὸ δὲ ΗΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ. τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΔΒ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΓ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此磬折形XOP与正方形ZH之和是 ZH的五倍。 但磬折形XOP与正方形ZH之和是DN。 而DN是DB上的正方形，HZ是DG上的正方形。 所以DB上的正方形是DG上的正方形的五倍；这就是所要求证的。
§13.prop.4ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, τὰ συναμφότερα τετράγωνα, τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τοῦ μείζονος τμήματος τετραγώνου.
如果一条线段被分成外中比，那么整条线段上的正方形与较小部分上的正方形，两者之和，是较大部分上所作正方形的三倍。

词汇与语法注释

  1. 13.prop.3προσλαβὸν ... πενταπλάσιον δύναται — 分词 `προσλαβὸν` 与主语 `τὸ ἔλασσον τμῆμα`（较小的部分）一致，表示伴随状况或条件。动词 `δύναται` 在此处用于几何学意义，意为‘其上所作的正方形面积等于……’，表示主语线段上所作的正方形等于属格所示的对象（此处为‘较大部分一半上所作正方形的五倍’）。
  2. 13.prop.3διπλοῦν τὸ σχῆμα — ‘双重图’这一短语是欧几里得几何作图中的惯用表达，指在一个基础图形（此处为正方形AE）之上通过添加辅助线等而作出的复合图形或平行四边形系统。
  3. 13.prop.3τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ — 意为‘由AB和BC所包围的矩形’的公式化表达。虽然列出了三个字母 `ΑΒΓ`，但它指的是由线段AB和部分线段BC（在此为共线部分）所构成的矩形。
  4. 13.prop.3ὁ ΞΟΠ ἄρα γνώμων καὶ τὸ ΖΗ τετράγωνον πενταπλάσιός ἐστι — 尽管主语是复合主语（阳性名词‘磬折形’ `γνώμων` 与中性名词‘正方形’ `τετράγωνον`），动词 `ἐστι` 却使用了单数第三人称，且表语形容词 `πενταπλάσιός` 也使用了阳性单数。这要么是因为这两个图形之和被视为一个单一的数学几何实体，要么是因为形容词受到了最前方的阳性主语的语法吸引（attraction）。
  5. 13.prop.4τὸ ἀπὸ τῆς ὅλης καὶ τοῦ ἐλάσσονος τμήματος, τὰ συναμφότερα τετράγωνα — 冠词 `τὸ` 为中性单数，但它与随后的短语 `τὰ συναμφότερα τετράγωνα`（两者结合的正方形，复数）处于同格关系。直译为‘整体［线段］与较小部分线段上的、两者结合的多个正方形’，指的是整条线段上的正方形与较小部分上的正方形之和。

引用这一段

欧几里得, 几何原本 §13.prop.3-13.prop.4. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/zh/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg001.humanitext-grc2:13.prop.3-13.prop.4

请注明译文为AI草稿以及访问日期。

译文、注释与简介为AI生成的草稿，并根据读者反馈持续修订。