§13.prop.1ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου.
もし直線が外中比に分けられるならば、大きい方の線分に全体の半分を加えたものは、半分の上の正方形の5倍に等しい。
εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΓΑ εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΔ·
なぜなら、直線ABが点Gにおいて外中比に分けられ、より大きい方の線分をAGとし、GAの直線上に直線ADが延長され、ADはABの半分に等しく置かれよ。
λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ.
ἀναγεγράφθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ τετράγωνα τὰ ΑΕ, ΔΖ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΔΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Η. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΖΘ·
私は、GDの上の正方形はDAの上の正方形の5倍である、と主張する。 なぜなら、AB, DGの上の正方形 AE, DZが描かれ、DZの中に図形が作図されよ。 そしてZGがHまで延長されよ。 そして、ABはGにおいて外中比に分けられているので、したがってAB, BGによって囲まれる長方形は AGの上の正方形に等しい。 そして、AB, BGによって囲まれる長方形とはGEのことであり、AGの上の正方形とはZThのことである。
ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΑ τῇ ΚΑ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΑΘ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΑ τῆς ΑΘ. ὡς δὲ ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ, οὕτως τὸ ΓΚ πρὸς τὸ ΓΘ·
したがって、GEはZThに等しい。 そして、BAはADの2倍であり、BAはKAに、ADは AThに等しいので、したがってKAもAThの2倍である。 そして、KAがAThに対するように、そのようにGKはGThに対する。
διπλάσιον ἄρα τὸ ΓΚ τοῦ ΓΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΓ διπλάσια τοῦ ΓΘ. ἴσον ἄρα τὸ ΚΓ τοῖς ΛΘ, ΘΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ΓΕ τῷ ΘΖ ἴσον·
したがって、GKはGThの2倍である。 そして、LTh, ThGもGThの2倍である。 したがって、KGはLTh, ThGの和に等しい。 そして、GEもThZに等しいと示された。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝΞ γνώμονι.
したがって、全体の正方形AEはグノモンMNXに等しい。
καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τουτέστι τὸ ΑΕ τοῦ ΔΘ. ἴσον δὲ τὸ ΑΕ τῷ ΜΝΞ γνώμονι·
そして、BAはADの2倍であるので、BAの上の正方形はADの上の正方形の4倍、すなわちAEはDThの4倍である。 そして、AEはグノモンMNXに等しい。
καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ΑΟ·
したがって、グノモンMNXもAOの4倍である。
ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΟ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ, τὸ δὲ ΑΟ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ·
したがって、全体DZはAOの5倍である。 そして、 DZはDGの上の正方形であり、AOはDAの上の正方形である。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΔ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου·
したがって、GDの上の正方形はDAの上の正方形の5倍である。 したがって、もし直線が外中比に分けられるならば、大きい方の線分に全体の半分を加えたものは、半分の上の正方形の5倍に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。