§13.prop.2ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας.
만약 선분이 자신 일부 선분 위의 정사각형의 5배에 해당하는 정사각형을 만든다면, 언급된 선분의 2배가 외중비로 나누어질 때, 더 큰 선분은 원래 선분의 나머지 부분이다.
εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ τμήματος ἑαυτῆς τοῦ ΑΓ πενταπλάσιον δυνάσθω, τῆς δὲ ΑΓ διπλῆ ἔστω ἡ ΓΔ·
왜냐하면 선분 AB가 자신 일부 선분 AC 위의 정사각형의 5배에 해당하는 정사각형을 만들게 하고, GD는 AC의 2배라 하자.
λέγω, ὅτι τῆς ΓΔ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ.
Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀφʼ ἑκατέρας τῶν ΑΒ, ΓΔ τετράγωνα τὰ ΑΖ, ΓΗ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΑΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΒΕ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ΑΖ τοῦ ΑΘ. τετραπλάσιος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τοῦ ΑΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ, τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ ΔΓ τοῦ ἀπὸ ΓΑ, τουτέστι τὸ ΓΗ τοῦ ΑΘ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὁ ΜΝΞ γνώμων τετραπλάσιος τοῦ ΑΘ·
나는 GD가 외중비로 나누어질 때, 더 큰 선분은 GB라고 주장한다. 왜냐하면 AB, GD 각각 위에 정사각형 AZ, GH가 그려지게 하고, AZ 안에 도형이 작도되게 하며, BE가 그어지게 하라. 그리고 BA 위의 정사각형은 AC 위의 정사각형의 5배이므로, AZ는 ATh의 5배이다. 그러므로 그노몬 MNX는 ATh의 4배이다. 그리고 DG가 GA의 2배이므로, 그러므로 DG 위의 정사각형은 GA 위의 정사각형의 4배, 즉 GH는 ATh의 4배이다. 그런데 그노몬 MNX도 ATh의 4배임이 증명되었다.
ἴσος ἄρα ὁ ΜΝΞ γνώμων τῷ ΓΗ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΔΓ τῆς ΓΑ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΔΓ τῇ ΓΚ, ἡ δὲ ΑΓ τῇ ΓΘ, διπλάσιον ἄρα καὶ τὸ ΚΒ τοῦ ΒΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΒ τοῦ ΘΒ διπλάσια·
그러므로 그노몬 MNX는 GH와 같다. 그리고 DG는 GA의 2배이고, DG는 GK와 같고, AC는 GTh와 같으므로, 그러므로 KB도 BTh의 2배이다. 그런데 LTh, ThB도 ThB의 2배이다.
ἴσον ἄρα τὸ ΚΒ τοῖς ΛΘ, ΘΒ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὅλος ὁ ΜΝΞ γνώμων ὅλῳ τῷ ΓΗ ἴσος·
그러므로 KB는 LTh, ThB의 합과 같다. 그리고 전체 그노몬 MNX도 전체 GH와 같음이 증명되었다.
καὶ λοιπὸν ἄρα τὸ ΘΖ τῷ ΒΗ ἐστιν ἴσον.
그러므로 나머지 ThZ는 BH와 같다.
καί ἐστι τὸ μὲν ΒΗ τὸ ὑπὸ τῶν ΓΔΒ·
그리고 BH는 GDB에 의해 둘러싸인 직사각형이다.
ἴση γὰρ ἡ ΓΔ τῇ ΔΗ·
왜냐하면 GD는 DH와 같기 때문이다.
τὸ δὲ ΘΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΒ·
그리고 ThZ는 GB 위의 정사각형이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΔΒ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΓΒ. ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΔΓ πρὸς τὴν ΓΒ, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΔ. μείζων δὲ ἡ ΔΓ τῆς ΓΒ·
그러므로 GDB에 의해 둘러싸인 직사각형은 GB 위의 정사각형과 같다. 그러므로 DG가 GB에 대함과 같이, 그렇게 GB는 BD에 대한다. 그런데 DG는 GB보다 크다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΓΒ τῆς ΒΔ. τῆς ΓΔ ἄρα εὐθείας ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΓΒ.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα γραμμὴ τμήματος ἑαυτῆς πενταπλάσιον δύνηται, τῆς διπλασίας τοῦ εἰρημένου τμήματος ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμα τὸ λοιπὸν μέρος ἐστὶ τῆς ἐξ ἀρχῆς εὐθείας·
그러므로 GB도 BD보다 크다. 그러므로 선분 GD가 외중비로 나누어질 때, 더 큰 선분은 GB이다. 그러므로 만약 선분이 자신 일부 선분 위의 정사각형의 5배에 해당하는 정사각형을 만든다면, 언급된 선분의 2배가 외중비로 나누어질 때, 더 큰 선분은 원래 선분의 나머지 부분이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.
λῆμμα
ὅτι δὲ ἡ διπλῆ τῆς ΑΓ μείζων ἐστὶ τῆς ΒΓ, οὕτως δεικτέον.
보조정리 AC의 2배가 GB보다 크다는 것은 다음과 같이 증명되어야 한다.
εἰ γὰρ μή, ἔστω, εἰ δυνατόν, ἡ ΒΓ διπλῆ τῆς ΓΑ. τετραπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ·
왜냐하면 만약 그렇지 않다면, 가능하다면 GB가 GA의 2배라 하자. 그러므로 GB 위의 정사각형은 GA 위의 정사각형의 4배이다.
πενταπλάσια ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ. ὑπόκειται δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΑ·
그러므로 GB, GA 위의 정사각형들의 합은 GA 위의 정사각형의 5배이다. 그런데 BA 위의 정사각형도 GA 위의 정사각형의 5배라고 가정되었다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΓ, ΓΑ·
그러므로 BA 위의 정사각형은 GB, GA 위의 정사각형들의 합과 같다.
ὅπερ ἀδύνατον.
이것은 불가능하다.
οὐκ ἄρα ἡ ΓΒ διπλασία ἐστὶ τῆς ΑΓ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ἐλάττων τῆς ΓΒ διπλασίων ἐστὶ τῆς ΓΑ·
그러므로 GB는 AC의 2배가 아니다. 마찬가지로 우리는 GB보다 작은 것도 GA의 2배가 아님을 증명할 것이다.
πολλῷ γὰρ τὸ ἄτοπον.
왜냐하면 그 모순됨이 훨씬 더 크기 때문이다.
ἡ ἄρα τῆς ΑΓ διπλῆ μείζων ἐστὶ τῆς ΓΒ·
그러므로 AC의 2배는 GB보다 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.