§13.prop.18#1τὰς πλευρὰς τῶν πέντε σχημάτων ἐκθέσθαι καὶ συγκρῖναι πρὸς ἀλλήλας.
五つの立体の辺を取り出し、それらを互いに比較すること。
Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΒ, κατὰ δὲ τὸ Δ ὥστε διπλασίονα εἶναι τὴν ΑΔ τῆς ΔΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Γ, Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΕΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ. ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ·
与えられた球の直径ABが置かれているとし、AGがGBに等しくなるようにGにおいて分けられているとし、またADがDBの2倍になるようにDにおいて分けられているとする。 そしてABの上に半円AEBを描き、G, DからABに対して垂直にGE, DZを引き、AZ, ZB, EBを結べ。 そして、ADがDBの2倍であるので、したがってABはBDの3倍である。 比を反転させると、したがってBAはADの1.5倍である。 そして、BAが ADに対するように、そのようにBAの上の正方形はAZの上の正方形に対する。
ἰσογώνιον γάρ ἐστι τὸ ΑΖΒ τρίγωνον τῷ ΑΖΔ τριγώνῳ·
なぜなら、三角形AZBは三角形AZDと等角だからである。
ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἡμιολία τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.
したがって、BAの上の正方形はAZの上の正方形の1.5倍である。 ところで、球の直径の平方も、角錐の辺の平方の1.5倍である。
καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος·
そしてABは球の直径である。
ἡ ΑΖ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πλευρᾷ τῆς πυραμίδος.
したがって、AZは角錐の辺に等しい。
πάλιν, ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ·
次に、ADがDBの2倍であるので、したがってABはBDの3倍である。 そして、ABがBDに対するように、そのようにABの上の正方形はBZの上の正方形に対する。
τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς.
したがって、 ABの上の正方形はBZの上の正方形の3倍である。 ところで、球の直径の平方も、立方体の辺の平方の3倍である。
καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος·
そしてABは球の直径である。
ἡ ΒΖ ἄρα τοῦ κύβου ἐστὶ πλευρά.
したがって、BZは立方体の辺である。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ·
そして、AGがGBに等しいので、したがって ABはBGの2倍である。 そして、ABがBGに対するように、そのようにABの上の正方形はBEの上の正方形に対する。
διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς.
したがって、ABの上の正方形はBEの上の正方形の2倍である。 ところで、球の直径の平方も、正八面体の辺の平方の2倍である。
καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος·
そしてABは与えられた球の直径である。
ἡ ΒΕ ἄρα τοῦ ὀκταέδρου ἐστὶ πλευρά.
したがって、BEは正八面体の辺である。
ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΗ, καὶ κείσθω ἡ ΑΗ ἴση τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΗΑ τῆς ΑΓ· ἴση γὰρ ἡ ΗΑ τῇ ΑΒ· ὡς δὲ ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΓ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΓ. τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΓ·
そこで、点Aから直線ABに対して垂直にAHを引き、AHをABに等しく置き、HGを結べ。 そして、ThetaからABに対して垂線ThetaKを引け。 そして、HAはAGの2倍であり（なぜなら、HAは ABに等しいからである）、またHAがAGに対するように、そのようにThetaKはKGに対するので、したがってThetaKもKGの2倍である。 したがって、ThetaKの上の正方形はKGの上の正方形の4倍である。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΓ. ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΓΒ·
したがって、ThetaK, KGの上の正方形の和、すなわちThetaGの上の正方形は、KGの上の正方形の5倍である。 ところで、ThetaGはGBに等しい。
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΓΒ, ὧν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ ἐστι διπλῆ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ λοιπῆς τῆς ΔΓ ἐστι διπλῆ.
したがって、 BGの上の正方形はGKの上の正方形の5倍である。 そして、ABはGBの2倍であり、そのうちADはDBの2倍であるから、したがって、残りのBDは残りのDGの2倍である。
τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ·
したがって、BGはGDの3倍である。
ἐνναπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ·
したがって、BGの上の正方形はGDの上の正方形の9倍である。 ところで、BGの上の正方形はGKの上の正方形の5倍である。
μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ.
したがって、 GKの上の正方形はGDの上の正方形よりも大きい。