§13.prop.18#2μείζων ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῆς ΓΔ. κείσθω τῇ ΓΚ ἴση ἡ ΓΛ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΜΒ. καὶ ἐπεὶ πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ, καί ἐστι τῆς μὲν ΒΓ διπλῆ ἡ ΑΒ, τῆς δὲ ΓΚ διπλῆ ἡ ΚΛ, πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΛ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται.
したがって、GKはGDよりも大きい。 GKに等しくGLが置かれているとし、LからABに対して垂直にLMが引かれているとし、MBを結べ。 そして、BGの上の正方形はGKの上の正方形の5倍であり、またABはBGの2倍であり、KLはGKの2倍であるから、したがって、ABの上の正方形はKL ofの上の正方形の5倍である。 ところで、球の直径の平方も、その上に正二十面体が描かれる円の半径の平方の5倍である。
καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος·
そしてABは球의直径である。
ἡ ΚΛ ἄρα ἐκ τοῦ κέντρου ἐστὶ τοῦ κύκλου, ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται·
したがって、KLはその上に正二十面体が描かれる円の半径である。
ἡ ΚΛ ἄρα ἑξαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ εἰρημένου κύκλου.
したがって、KLは前記の円の内接正六角形の辺である。
καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν εἰρημένον κύκλον ἐγγραφομένων, καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, ἡ δὲ ΚΛ ἑξαγώνου πλευρά, καὶ ἴση ἡ ΑΚ τῇ ΛΒ, ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΚ, ΛΒ δεκαγώνου ἐστὶ πλευρὰ τοῦ ἐγγραφομένου εἰς τὸν κύκλον, ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται.
そして、球の直径は、前記の円に内接する正六角形の辺と二つの正十角形の辺の和から成り、またABは球の直径であって、KLは正六角形の辺であり、さらにAKはLBに等しいので、したがってAK, LBのそれぞれは、その上に正二十面体が描かれる円に内接する正十角形の辺である。
καὶ ἐπεὶ δεκαγώνου μὲν ἡ ΛΒ, ἑξαγώνου δὲ ἡ ΜΛ·
そして、LBは正十角形の辺であり、MLは正六角形の辺であるから（なぜなら、MLはKLに等しく、それはまたThetaKにも等しいからである。
ἴση γάρ ἐστι τῇ ΚΛ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΘΚ· ἴσον γὰρ ἀπέχουσιν ἀπὸ τοῦ κέντρου·
なぜならそれらは中心から等しい距離にあるからである。
καί ἐστιν ἑκατέρα τῶν ΘΚ, ΚΛ διπλασίων τῆς ΚΓ·
またThetaK, KLのそれぞれはKGの2倍である）、したがってMBは正五角形の辺である。
πενταγώνου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ. ἡ δὲ τοῦ πενταγώνου ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου·
ところで、正五角形の辺は正二十面体の辺である。
εἰκοσαέδρου ἄρα ἐστὶν ἡ ΜΒ.
καὶ ἐπεὶ ἡ ΖΒ κύβου ἐστὶ πλευρά, τετμήσθω ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὸ Ν, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΝΒ·
したがって、MBは正二十面体の辺である。 そして、ZBは立方体の辺であるから、Nにおいて外中比に分けられるとし、より大きい線分をNBとせよ。
ἡ ΝΒ ἄρα δωδεκαέδρου ἐστὶ πλευρά.
したがって、NBは正十二面体の辺である。
καὶ ἐπεὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος ἐδείχθη τῆς μὲν ΑΖ πλευρᾶς τῆς πυραμίδος δυνάμει ἡμιολία, τῆς δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆς ΒΕ δυνάμει διπλασίων, τῆς δὲ τοῦ κύβου τῆς ΖΒ δυνάμει τριπλασίων, οἵων ἄρα ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἕξ, τοιούτων ἡ μὲν τῆς πυραμίδος τεσσάρων, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τριῶν, ἡ δὲ τοῦ κύβου δύο.
そして、球の直径は、角錐の辺AZの平方に対して1.5倍であり、正八面体の辺BEの平方に対して2倍であり、立方体の辺ZBの平方に対して3倍であることが示されたので、したがって、球の直径の平方が6となるような比において、角錐の辺の平方は4、正八面体の辺の平方は3、立方体の辺の平方は2となる。
ἡ μὲν ἄρα τῆς πυραμίδος πλευρὰ τῆς μὲν τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς δυνάμει ἐστὶν ἐπίτριτος, τῆς δὲ τοῦ κύβου δυνάμει διπλῆ, ἡ δὲ τοῦ ὀκταέδρου τῆς τοῦ κύβου δυνάμει ἡμιολία.
したがって、角錐の辺の平方は、正八面体の辺の平方の3分の4倍であり、立方体の辺の平方の2倍であり、正八面体の辺の平方は、立方体の辺の平方の1.5倍である。
αἱ μὲν οὖν εἰρημέναι τῶν τριῶν σχημάτων πλευραί, λέγω δὴ πυραμίδος καὶ ὀκταέδρου καὶ κύβου, πρὸς ἀλλήλας εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς.
したがって、前記の三つの立体の辺、すなわち角錐、正八面体、および立方体の辺は、互いに有理的な比にある。
αἱ δὲ λοιπαὶ δύο, λέγω δὴ ἥ τε τοῦ εἰκοσαέδρου καὶ ἡ τοῦ δωδεκαέδρου, οὔτε πρὸς ἀλλήλας οὔτε πρὸς τὰς προειρημένας εἰσὶν ἐν λόγοις ῥητοῖς·
しかし、残りの二つ、すなわち正二十面体の辺と正十二面体の辺は、互いに対しても、また前記の辺に対しても、有理的な比にはない。
ἄλογοι γάρ εἰσιν, ἡ μὲν ἐλάττων, ἡ δὲ ἀποτομή.
なぜなら、それらは無理線であり、一方はマイナーであり、他方はアポトメーだからである。
ὅτι μείζων ἐστὶν ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἡ ΜΒ τῆς τοῦ δωδεκαέδρου τῆς ΝΒ, δείξομεν οὕτως.
正二十面体の辺MBが正十二面体の辺NBよりも大きいことは、以下のように示す。