§13.prop.18#1τὰς πλευρὰς τῶν πέντε σχημάτων ἐκθέσθαι καὶ συγκρῖναι πρὸς ἀλλήλας.
다섯 가지 입체도형의 변을 구하고 그것들을 서로 비교하는 것.
Ἐκκείσθω ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ τετμήσθω κατὰ τὸ Γ ὥστε ἴσην εἶναι τὴν ΑΓ τῇ ΓΒ, κατὰ δὲ τὸ Δ ὥστε διπλασίονα εἶναι τὴν ΑΔ τῆς ΔΒ, καὶ γεγράφθω ἐπὶ τῆς ΑΒ ἡμικύκλιον τὸ ΑΕΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Γ, Δ τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ΔΖ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΕΒ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ. ἀναστρέψαντι ἡμιολία ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ. ὡς δὲ ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΖ·
주어진 구의 지름 AB가 놓여 있다고 하고, AG가 GB와 같게 되도록 점 G에서 나누고, AD가 DB의 2배가 되도록 점 D에서 나누라. 그리고 AB 위에 반원 AEB를 그리고, G, D로부터 AB에 수직으로 GE, DZ를 긋고, AZ, ZB, EB를 연결하라. 그리고 AD가 DB의 2배이므로, 그러므로 AB는 BD의 3배이다. 비를 반전시키면, 그러므로 BA는 AD의 1.5배이다. 그리고 BA가 AD에 대하는 비율은 BA 위의 정사각형이 AZ 위의 정사각형에 대하는 비율과 같다.
ἰσογώνιον γάρ ἐστι τὸ ΑΖΒ τρίγωνον τῷ ΑΖΔ τριγώνῳ·
왜냐하면 삼각형 AZB는 삼각형 AZD와 등각이기 때문이다.
ἡμιόλιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει ἡμιολία τῆς πλευρᾶς τῆς πυραμίδος.
그러므로 BA 위의 정사각형은 AZ 위의 정사각형의 1.5배이다. 그런데 구의 지름의 제곱도 각불의 변의 제곱의 1.5배이다.
καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος·
그리고 AB는 구의 지름이다.
ἡ ΑΖ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ πλευρᾷ τῆς πυραμίδος.
그러므로 AZ는 각불의 변과 같다.
πάλιν, ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ, τριπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΔ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΔ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΖ·
다시, AD가 DB의 2배이므로, 그러므로 AB는 BD의 3배이다. 그리고 AB가 BD에 대하는 것과 같이, AB 위의 정사각형도 BZ 위의 정사각형에 대한다.
τριπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΖ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς.
그러므로 AB 위의 정사각형은 BZ 위의 정사각형의 3배이다. 그런데 구의 지름의 제곱도 정육면체 변의 제곱의 3배이다.
καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος·
그리고 AB는 구의 지름이다.
ἡ ΒΖ ἄρα τοῦ κύβου ἐστὶ πλευρά.
그러므로 BZ는 정육면체의 변이다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΓΒ, διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΕ·
그리고 AG가 GB와 같으므로, 그러므로 AB는 BG의 2배이다. 그리고 AB가 BG에 대하는 것과 같이, AB 위의 정사각형도 BE 위의 정사각형에 대한다.
διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ. ἔστι δὲ καὶ ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει διπλασίων τῆς τοῦ ὀκταέδρου πλευρᾶς.
그러므로 AB 위의 정사각형은 BE 위의 정사각형의 2배이다. 그런데 구의 지름의 제곱도 정팔면체 변의 제곱의 2배이다.
καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος·
그리고 AB는 주어진 구의 지름이다.
ἡ ΒΕ ἄρα τοῦ ὀκταέδρου ἐστὶ πλευρά.
그러므로 BE는 정팔면체의 변이다.
ἤχθω δὴ ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῇ ΑΒ εὐθείᾳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΗ, καὶ κείσθω ἡ ΑΗ ἴση τῇ ΑΒ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΗΓ, καὶ ἀπὸ τοῦ Θ ἐπὶ τὴν ΑΒ κάθετος ἤχθω ἡ ΘΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΗΑ τῆς ΑΓ·
이제 점 A에서 직선 AB에 수직으로 AH를 긋고, AH를 AB와 같게 두고, HG를 연결하고, Theta로부터 AB에 수선 ThetaK를 그으라.
ἴση γὰρ ἡ ΗΑ τῇ ΑΒ· ὡς δὲ ἡ ΗΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΚΓ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΘΚ τῆς ΚΓ. τετραπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΓ·
그리고 HA는 AG의 2배이므로 (왜냐하면 HA는 AB와 같기 때문이다), 그리고 HA가 AG에 대하는 것과 같이 ThetaK도 KG에 대하므로, 그러므로 ThetaK도 KG의 2배이다. 그러므로 ThetaK 위의 정사각형은 KG 위의 정사각형의 4배이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ὅπερ ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ, πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΓ. ἴση δὲ ἡ ΘΓ τῇ ΓΒ·
그러므로 ThetaK, KG 위의 정사각형들의 합, 곧 ThetaG 위의 정사각형은 KG 위의 정사각형의 5배이다. 그런데 ThetaG는 GB와 같다.
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΑΒ τῆς ΓΒ, ὧν ἡ ΑΔ τῆς ΔΒ ἐστι διπλῆ, λοιπὴ ἄρα ἡ ΒΔ λοιπῆς τῆς ΔΓ ἐστι διπλῆ.
그러므로 BG 위의 정사각형은 GK 위의 정사각형의 5배이다. 그리고 AB는 GB의 2배이고, 그중에서 AD는 DB의 2배이므로, 그러므로 남은 BD는 남은 DG의 2배이다.
τριπλῆ ἄρα ἡ ΒΓ τῆς ΓΔ·
그러므로 BG는 GD의 3배이다.
ἐνναπλάσιον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ. πενταπλάσιον δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΓ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΚ·
그러므로 BG 위의 정사각형은 GD 위의 정사각형의 9배이다. 그런데 BG 위의 정사각형은 GK 위의 정사각형의 5배이다.
μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΓΚ τοῦ ἀπὸ τῆς ΓΔ.
그러므로 GK 위의 정사각형은 GD 위의 정사각형보다 크다.