§13.prop.17#2ἔστι δὲ καὶ ἡ ΒΓ τῆς ΒΝ διπλῆ·
ところで、BGもBNの2倍である。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΦ τῇ ΒΓ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΒΥ, ΥΦ δυσὶ ταῖς ΒΧ, ΧΓ ἴσαι εἰσίν, καὶ βάσις ἡ ΒΦ βάσει τῇ ΒΓ ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΥΦ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ ἐστιν ἴση.
したがって、BPhiはBGに等しい。 そして、2つの辺BY, YPhiが2つの辺 BX, XGにそれぞれ等しく、底辺BPhiが底辺BGに等しいので、したがって角BYPhiは角BXGに等しい。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ὑπὸ ΥΦΓ γωνία ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ ΒΧΓ·
同様にして、角YPhiGも角BXGに等しいことが示されるであろう。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΧΓ, ΒΥΦ, ΥΦΓ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
したがって、3つの角BXG, BYPhi, YPhiGは互いに等しい。
ἐὰν δὲ πενταγώνου ἰσοπλεύρου αἱ τρεῖς γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, ἰσογώνιον ἔσται τὸ πεντάγωνον·
ところで、もし等辺五角形の3つの角が互いに等しいなら、その五角形は等角である。
ἰσογώνιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον.
したがって、五角形BYPhiGXは等角である。
ἐδείχθη δὲ καὶ ἰσόπλευρον·
そして、それは等辺であることも示された。
τὸ ἄρα ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν ἐστι καὶ ἰσογώνιον, καί ἐστιν ἐπὶ μιᾶς τοῦ κύβου πλευρᾶς τῆς ΒΓ. ἐὰν ἄρα ἐφʼ ἑκάστης τῶν τοῦ κύβου δώδεκα πλευρῶν τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν ὑπὸ δώδεκα πενταγώνων ἰσοπλεύρων τε καὶ ἰσογωνίων περιεχόμενον, ὃ καλεῖται δωδεκάεδρον.
したがって、五角形BYPhiGXは等辺かつ等角であり、それは立方体の1つの辺BGの上にある。 したがって、もし立方体の12の辺のそれぞれの上に同様のことを構成するなら、 12の等辺かつ等角の五角形に囲まれた立体が構成されるであろう。 これは十二面体と呼ばれる。
δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
そこで、これを与えられた球で囲み、正十二面体の辺が、いわゆる「アポトメー」と呼ばれる無理線であることを示す必要がある。
Ἐκβεβλήσθω γὰρ ἡ ΨΟ, καὶ ἔστω ἡ ΨΩ·
なぜなら、PsiOを延長して、PsiOmegaとせよ。
συμβάλλει ἄρα ἡ ΟΩ τῇ τοῦ κύβου διαμέτρῳ, καὶ δίχα τέμνουσιν ἀλλήλας·
したがって、OOmegaは立方体の対角線と交わり、それらは互いに二等分する。
τοῦτο γὰρ δέδεικται ἐν τῷ παρατελεύτῳ θεωρήματι τοῦ ἑνδεκάτου βιβλίου.
なぜなら、このことは第11巻の最後から2番目の命題において示されているからである。
τεμνέτωσαν κατὰ τὸ Ω·
それらはOmegaにおいて交わるとせよ。
τὸ Ω ἄρα κέντρον ἐστὶ τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον, καὶ ἡ ΩΟ ἡμίσεια τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.
したがって、Omegaは立方体を囲む球の中心であり、OmegaOは立方体の辺の半分である。
ἐπεζεύχθω δὴ ἡ ΥΩ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΣ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΣ τῇ ΨΩ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΟΩ ἐστιν ἴση, ἡ δὲ ΨΟ τῇ ΟΣ. ἀλλὰ μὴν καὶ ἡ ΟΣ τῇ ΨΥ, ἐπεὶ καὶ τῇ ΡΟ·
そこで、YOmegaを結べ。 そして、直線NSはOにおいて外中比に分けられており、そのより大きい線分はNOであるから、したがってNS, SOの上の正方形の和は、 NOの上の正方形の3倍である。 ところで、NSはPsiOmegaに等しい。 なぜなら、NOはOOmegaに等しく、PsiOはOSに等しいからである。 さらにまた、OSはPsiYに等しい。 なぜなら、それ（OS）はROにも等しいからである。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΩΨ, ΨΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΥΩ·
したがって、OmegaPsi, PsiYの上の正方形の和はNOの上の正方形の3倍である。 そして、OmegaPsi, PsiYの上の正方形の和はYOmegaの上の正方形に等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΥΩ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον δυνάμει τριπλασίων τῆς ἡμισείας τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς·
したがって、 YOmegaの上の正方形はNOの上の正方形の3倍である。 ところで、立方体を囲む球の半径の平方も、立方体の辺の半分の平方の3倍である。
προδέδεικται γὰρ κύβον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει τριπλασίων ἐστὶ τῆς πλευρᾶς τοῦ κύβου.
なぜなら、以前に、立方体を構成してそれを球で囲み、球の直径の平方が立方体の辺の平方の3倍であることを示すことが示されているからである。
εἰ δὲ ὅλη τῆς ὅλης, καὶ ἡμίσεια τῆς ἡμισείας·
そして、もし全体が全体の3倍であるなら、半分も半分の3倍である。
καί ἐστιν ἡ ΝΟ ἡμίσεια τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς·
そしてNOは立方体の辺の半分である。
ἡ ἄρα ΥΩ ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον.
したがって、YOmegaは、立方体を囲む球の半径に等しい。
καί ἐστι τὸ Ω κέντρον τῆς σφαίρας τῆς περιλαμβανούσης τὸν κύβον·
そして、Omegaは立方体を囲む球の中心である。
τὸ Υ ἄρα σημεῖον πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας.
したがって、点Yは球の表面上にある。
ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν λοιπῶν γωνιῶν τοῦ δωδεκαέδρου πρὸς τῇ ἐπιφανείᾳ ἐστὶ τῆς σφαίρας·
同様にして、正十二面体の残りの角のそれぞれも球の表面上にあることが示されるであろう。
περιείληπται ἄρα τὸ δωδεκάεδρον τῇ δοθείσῃ σφαίρᾳ.
したがって、正十二面体は与えられた球で囲まれている。
λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
そこで、正十二面体の辺は、「アポトメー」と呼ばれる無理線であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ τῆς ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τῆς δὲ ΟΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμημένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΣ, ὅλης ἄρα τῆς ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. οἷον ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΡ, ἡ ΟΡ πρὸς τὴν ΡΝ, καὶ τὰ διπλάσια·
なぜなら、NOが外中比に分けられていて、そのより大きい線分がROであり、OXiが外中比に分けられていて、そのより大きい線分がOSであるから、したがって、全体NXiが外中比に分けられるとき、そのより大きい線分はRSである。
τὰ γὰρ μέρη τοῖς ἰσάκις πολλαπλασίοις τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον· ὡς ἄρα ἡ ΝΞ πρὸς τὴν ΡΣ, οὕτως ἡ ΡΣ πρὸς συναμφότερον τὴν ΝΡ, ΣΞ. μείζων δὲ ἡ ΝΞ τῆς ΡΣ·
例えば、NO対OPはOP対PNのようであり、またそれらの2倍も同様であるから（なぜなら、部分は等倍のものと同じ比を持つからである）、したがって、NXi対RSは、RS対NPとSXiを合わせたもののようである。 ところで、NXiはRSより大きい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΡΣ συναμφοτέρου τῆς ΝΡ, ΣΞ·
したがって、RSも NPとSXiを合わせたものより大きい。
ἡ ΝΞ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΣ. ἴση δὲ ἡ ΡΣ τῇ ΥΦ·
したがって、NXiは外中比に分けられており、そのより大きい線分はRSである。 ところで、RSはYPhiに等しい。
τῆς ἄρα ΝΞ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΥΦ. καὶ ἐπεὶ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος καί ἐστι δυνάμει τριπλασίων τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς, ῥητὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ΝΞ πλευρὰ οὖσα τοῦ κύβου.
したがって、NXiが外中比に分けられるとき、そのより大きい線分はYPhiである。 そして、球の直径は有理線であり、それは立方体の辺の平方の 3倍の平方を持つから、したがって、立方体の辺であるNXiは有理線である。
ἐὰν δὲ ῥητὴ γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, ἑκάτερον τῶν τμημάτων ἄλογός ἐστιν ἀποτομή.
ところで、もし有理線が外中比に分けられるなら、その線分のそれぞれは無理線であるアポトメーである。
ἡ ΥΦ ἄρα πλευρὰ οὖσα τοῦ δωδεκαέδρου ἄλογός ἐστιν ἀποτομή.
したがって、正十二面体の辺であるYPhiは無理線であるアポトメーである。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι τῆς τοῦ κύβου πλευρᾶς ἄκρον καὶ μέσον λόγον τεμνομένης τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρά.
系このことから、立方体の辺が外中比に分けられるとき、そのより大きい線分が正十二面体の辺であることは明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。