§13.prop.16#2δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
今やこれを、与えられた球で囲むこと、そして、正二十面体の辺が、いわゆる「より小さい」無理線であることを示すことが必要である。
ἐπεὶ γὰρ ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, ἡ ΦΩ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΦΧ·
なぜなら、PhiChiは六角形の辺であり、ChiOmegaは十角形の辺であるから、したがってPhiOmegaはChiにおいて外中比に分けられており、そのより大きい線分はPhiChiである。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΦΧ τῇ ΦΕ, ἡ δὲ ΧΩ τῇ ΦΨ·
したがって、OmegaPhi対PhiChiは、PhiChi対ChiOmegaのようである。 ところで、PhiChiはPhiEに等しく、ChiOmegaはPhiPsiに等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΕ, οὕτως ἡ ΕΦ πρὸς τὴν ΦΨ. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΩΦΕ, ΕΦΨ γωνίαι·
したがって、OmegaPhi対 PhiEは、EPhi対PhiPsiのようである。 そして角OmegaPhiE, EPhiPsiは直角である。
ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΩ εὐθεῖαν, ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΕΩ γωνία διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΨΕΩ, ΦΕΩ τριγώνων.
したがって、もし直線EOmegaを結ぶなら、三角形PsiEOmegaとPhiEOmegaの相似性により、角PsiEOmegaは直角となるであろう。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ, ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς τὴν ΧΠ, οὕτως ἡ ΠΧ πρὸς τὴν ΧΩ. καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΠΨ, ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Π γωνία·
同じ理由により、OmegaPhi対PhiChiがPhiChi対ChiOmegaのようであり、かつOmegaPhiはPsiChiに等しく、PhiChiはChiPに等しいので、したがって PsiChi対ChiPは、PChi対ChiOmegaのようである。 そしてこのことによって、再びもしPPsiを結ぶなら、Pにおける角は直角になるであろう。
τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π. καὶ ἐὰν μενούσης τῆς ΨΩ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π καὶ τῶν λοιπῶν σημείων τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ εἰκοσάεδρον.
したがって、PsiOmegaの上に描かれる半円はPも通るであろう。 そして、PsiOmegaを動かさずに半円を回転させ、それが動き始めた元の位置に再び戻されるなら、それはPおよび正二十面体の残りの点をも通るであろう。 そして、正二十面体は球に囲まれることになる。
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ.
そこで、与えられたそれ（球）によっても［囲まれる］と主張する。
τετμήσθω γὰρ ἡ ΦΧ δίχα κατὰ τὸ Α#.
なぜなら、PhiChiがΑ#において二等分されるとせよ。
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΦΩ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ ἔλασσον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΩΧ, ἡ ἄρα ΩΧ προσλαβοῦσα τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήματος τὴν ΧΑ# πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείζονος τμήματος·
そして、直線PhiOmegaはChiにおいて外中比に分けられており、そのより小さい線分はOmegaChiであるから、したがってOmegaChiに、より大きい線分の半分であるChiΑ#を加えたものは、より大きい線分の半分の上（に描かれる正方形）の5倍を平方においてできる。
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑ# τοῦ ἀπὸ τῆς Α#Χ. καί ἐστι τῆς μὲν ΩΑ# διπλῆ ἡ ΩΨ, τῆς δὲ Α#Χ διπλῆ ἡ ΦΧ·
したがって、OmegaΑ#の上の正方形は、Α#Chiの上の正方形の5倍である。 そして、OmegaΑ#の2倍はOmegaPsiであり、 Α#Chiの2倍はPhiChiである。
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ. καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, πενταπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ·
したがって、OmegaPsiの上の正方形は、ChiPhiの上の正方形の5倍である。 そして、ACはGBの4倍であるから、したがってABはBCの5倍である。 ところで、AB対BCは、ABの上の正方形対BDの上の正方形のようである。
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΦΧ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΦΧ·
したがって、ABの上の正方形は、BDの上の正方形の5倍である。 ところで、OmegaPsiの上の正方形もPhiChiの上の正方形の5倍であると示された。 そして、DBはPhiChiに等しい。
ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου·
なぜなら、それらのそれぞれは円EZHThKの半径に等しいからである。
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΨΩ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος·
したがって、ABもPsiOmegaに等しい。 そして、ABは与えられた球の直径である。
καὶ ἡ ΨΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.
したがって、PsiOmegaも与えられた球の直径に等しい。
τῇ ἄρα δοθείσῃ σφαίρᾳ περιείληπται τὸ εἰκοσάεδρον.
したがって、正二十面体は与えられた球によって囲まれている。
λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
そこで、正二十面体の辺は、いわゆる「より小さい」無理線であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καί ἐστι δυνάμει πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου·
なぜなら、球の直径は有理線であり、それは円EZHThKの半径に対して平方において5倍であるから、したがって円EZHThKの半径も有理線である。
ὥστε καὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ ῥητή ἐστιν.
ゆえに、その直径も有理線である。
ἐὰν δὲ εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
ところで、もし有理的な直径を持つ円に等辺五角形が内接させられるなら、その五角形の辺は、いわゆる「より小さい」無理線である。
ἡ δὲ τοῦ ΕΖΗΘΚ πενταγώνου πλευρὰ ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐστίν.
ところで、五角形EZHThKの辺は正二十面体の辺である。
ἡ ἄρα τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
したがって、正二十面体の辺は、いわゆる「より小さい」無理線である。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται, καὶ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.
系このことから、球の直径は、それに基づいて正二十面体が描かれた円の半径に対して平方において5倍であること、および、球の直径は、同じ円に内接する六角形の辺と、十角形の辺の2倍との和からなることが明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。