§13.prop.16#2δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
现在必须将其包围在给定的球中，并证明正二十面体的边长是被称为“较小”的无理线。
ἐπεὶ γὰρ ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, ἡ ΦΩ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΦΧ·
因为由于PhiChi是六角形的边，ChiOmega是十角形的边，所以PhiOmega在Chi处被分割成外中比，且其较大线段是PhiChi；因此，正如OmegaPhi对PhiChi，PhiChi对ChiOmega也是如此。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΦΧ τῇ ΦΕ, ἡ δὲ ΧΩ τῇ ΦΨ·
而PhiChi等于PhiE，ChiOmega等于PhiPsi；因此，正如OmegaPhi对 PhiE，EPhi对PhiPsi也是如此。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΕ, οὕτως ἡ ΕΦ πρὸς τὴν ΦΨ. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΩΦΕ, ΕΦΨ γωνίαι· ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΩ εὐθεῖαν, ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΕΩ γωνία διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΨΕΩ, ΦΕΩ τριγώνων.
且角OmegaPhiE、EPhiPsi是直角；因此，如果我们连接直线EOmega，由于三角形PsiEOmega与PhiEOmega相似，角PsiEOmega将是直角。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ, ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς τὴν ΧΠ, οὕτως ἡ ΠΧ πρὸς τὴν ΧΩ. καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΠΨ, ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Π γωνία·
由于同样的原因，因为正如OmegaPhi对PhiChi，PhiChi对ChiOmega也是如此，且OmegaPhi等于 PsiChi，PhiChi等于ChiP，所以，正如PsiChi对ChiP，PChi对ChiOmega也是如此。
τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π. καὶ ἐὰν μενούσης τῆς ΨΩ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π καὶ τῶν λοιπῶν σημείων τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ εἰκοσάεδρον.
且由于这个原因，再次地，如果我们连接PPsi，在P处的角将是直角；因此在PsiOmega上描画的半圆也将通过P。 而如果保持PsiOmega不动，使半圆旋转并重新回到它开始移动的同一位置，它也将通过P以及正二十面体的其余点，且正二十面体将被包围在一个球中。
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ.
我且说，它也被包围在给定的球中。
τετμήσθω γὰρ ἡ ΦΧ δίχα κατὰ τὸ Α#.
因为设PhiChi在Α#处被二等分。
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΦΩ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ ἔλασσον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΩΧ, ἡ ἄρα ΩΧ προσλαβοῦσα τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήματος τὴν ΧΑ# πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείζονος τμήματος·
又因为直线PhiOmega在Chi处被分割成外中比，且其较小线段是OmegaChi，所以OmegaChi加上较大线段的一半ChiΑ#，在平方上是较大线段一半的五倍；因此OmegaΑ#上的正方形是Α#Chi上正方形的五倍。
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑ# τοῦ ἀπὸ τῆς Α#Χ. καί ἐστι τῆς μὲν ΩΑ# διπλῆ ἡ ΩΨ, τῆς δὲ Α#Χ διπλῆ ἡ ΦΧ·
而OmegaPsi是OmegaΑ#的两倍，且PhiChi是Α#Chi的两倍；因此OmegaPsi上的正方形是ChiPhi上正方形的五倍。
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ. καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, πενταπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ· πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΦΧ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΦΧ·
又因为AC是GB的四倍，所以AB是BC的五倍。 正如AB对BC，AB上的正方形对BD上的正方形也是如此；因此AB上的正方形是BD上正方形的五倍。 而OmegaPsi上的正方形也被证明是PhiChi上正方形的五倍。
ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΨΩ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος·
且DB等于PhiChi；因为它们每一个都等于圆EZHThK的半径；因此AB也等于PsiOmega。
καὶ ἡ ΨΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.
而AB是给定球的直径；因此PsiOmega也等于给定球的直径。
τῇ ἄρα δοθείσῃ σφαίρᾳ περιείληπται τὸ εἰκοσάεδρον.
因此正二十面体被包围在给定的球中。
λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
我且说，正二十面体的边长是被称为“较小”的无理线。
ἐπεὶ γὰρ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καί ἐστι δυνάμει πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου· ὥστε καὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ ῥητή ἐστιν.
因为球的直径是有理线，且在平方上是圆EZHThK半径的五倍，所以圆EZHThK的半径也是有理线；因此它的直径也是有理线。
ἐὰν δὲ εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
如果在直径为有理线的圆中内接一个等边五角形，则该五角形的边长是被称为“较小”的无理线。
ἡ δὲ τοῦ ΕΖΗΘΚ πενταγώνου πλευρὰ ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐστίν. ἡ ἄρα τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
而五角形EZHThK的边长是正二十面体的边长；因此正二十面体的边长是被称为“较小”的无理线。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται, καὶ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.
系由此显然，球的直径在平方上是据其描画正二十面体的圆之半径的五倍，并且球的直径是由六角形的边和内接于同一圆中的十角形的两倍边长所组成的。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
这就是所要证明的。