§13.prop.17#1δωδεκάεδρον συστήσασθαι καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν, ᾗ καὶ τὰ προειρημένα σχήματα, καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ δωδεκαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἀποτομή.
正十二面体を構成し、前述の諸立体と同様に、これを与えられた球で囲むこと、そして正十二面体の辺が、いわゆる「アポトメー」と呼ばれる無理線であることを示すこと。
Ἐκκείσθωσαν τοῦ προειρημένου κύβου δύο ἐπίπεδα πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλοις τὰ ΑΒΓΔ, ΓΒΕΖ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ, ΕΖ, ΕΒ, ΖΓ πλευρῶν δίχα κατὰ τὰ Η, Θ, Κ, Λ, Μ, Ν, Ξ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΗΚ, ΘΛ, ΜΘ, ΝΞ, καὶ τετμήσθω ἑκάστη τῶν ΝΟ, ΟΞ, ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον κατὰ τὰ Ρ, Σ, Τ σημεῖα, καὶ ἔστω αὐτῶν μείζονα τμήματα τὰ ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἀνεστάτωσαν ἀπὸ τῶν Ρ, Σ, Τ σημείων τοῖς τοῦ κύβου ἐπιπέδοις πρὸς ὀρθὰς ἐπὶ τὰ ἐκτὸς μέρη τοῦ κύβου αἱ ΡΥ, ΣΦ, ΤΧ, καὶ κείσθωσαν ἴσαι ταῖς ΡΟ, ΟΣ, ΤΠ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΥΒ, ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ, ΦΥ. λέγω, ὅτι τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον ἰσόπλευρόν τε καὶ ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ καὶ ἔτι ἰσογώνιόν ἐστιν.
前述の立方体の、互いに直角である2つの平面をABGD, GBEZとし、それぞれの辺AB, BG, GD, DA, EZ, EB, ZGをH, Th, K, L, M, N, Xiにおいて二等分せよ。 そしてHK, ThL, MTh, NXiを結べ。 そして、NO, OXi, ThPのそれぞれを、点R, S, Tにおいて外中比に分けよ。 そして、それらのより大きい線分をRO, OS, TPとせよ。 そして点R, S, Tから、立方体の諸平面に対して直角に、立方体の外側へ、RY, SPhi, TXを描き、これらをRO, OS, TPに等しくせよ。 Mammに、YB, BX, XG, GPhi, PhiYを結べ。 私は、五角形YBXGPhiが等辺であり、一平面上にあり、さらに等角であると主張する。
ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΡΒ, ΣΒ, ΦΒ. καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΡΟ, τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΟΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΟΝ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΡ τῇ ΡΥ·
なぜなら、RB, SB, PhiBを結べ。 そして、直線NOはRにおいて外中比に分けられており、そのより大きい線分はROであるから、したがってON, NRの上の正方形の和は、ROの上の正方形の3倍である。 ところで、 ONはNBに等しく、ORはRYに等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΝ, ΝΡ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΡ ἐστιν ἴσον·
したがって、BN, NRの上の正方形の和はRYの上の正方形の3倍である。 そして、BN, NRの上の正方形の和はBRの上の正方形に等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΡ τριπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ·
したがって、BRの上の正方形はRYの上の正方形の3倍である。
ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΡΥ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΒΡ, ΡΥ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΥ·
ゆえに、BR, RYの上の正方形の和はRYの上の正方形の4倍である。 ところで、 BR, RYの上の正方形の和にBYの上の正方形は等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΒΥ τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΥΡ·
したがって、BY의上の正方形はRYの上の正方形の4倍である。
διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΒΥ τῆς ΡΥ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΦΥ τῆς ΥΡ διπλῆ, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ΣΡ τῆς ΟΡ, τουτέστι τῆς ΡΥ, ἐστι διπλῆ·
したがって、BYはRYの2倍である。 ところで、PhiYもRYの2倍である。 なぜなら、SRもOR、すなわちRYの2倍だからである。
ἴση ἄρα ἡ ΒΥ τῇ ΥΦ. ὁμοίως δὴ δειχθήσεται, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ΒΧ, ΧΓ, ΓΦ ἑκατέρᾳ τῶν ΒΥ, ΥΦ ἐστιν ἴση.
したがって、BYはYPhiに等しい。 同様にして、 BX, XG, GPhiのそれぞれも、BY, YPhiのそれぞれに等しいことが示されるであろう。
ἰσόπλευρον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΥΦΓΧ πεντάγωνον.
したがって、五角形BYPhiGXは等辺である。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
そこで、それは一平面上にもあると主張する。
ἤχθω γὰρ ἀπὸ τοῦ Ο ἑκατέρᾳ τῶν ΡΥ, ΣΦ παράλληλος ἐπὶ τὰ ἐκτὸς τοῦ κύβου μέρη ἡ ΟΨ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΘ, ΘΧ·
なぜなら、Oから、RY, SPhiのそれぞれに平行に、立方体の外側へOPsiを引け。 そしてPsiTh, ThXを結べ。
λέγω, ὅτι ἡ ΨΘΧ εὐθεῖά ἐστιν.
私は、PsiThXは直線であると主張する。
ἐπεὶ γὰρ ἡ ΘΠ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Τ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΠΤ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΠ πρὸς τὴν ΠΤ, οὕτως ἡ ΠΤ πρὸς τὴν ΤΘ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΘΠ τῇ ΘΟ, ἡ δὲ ΠΤ ἑκατέρᾳ τῶν ΤΧ, ΟΨ·
なぜなら、ThPはTにおいて外中比に分けられており、そのより大きい線分はPTであるから、したがってThP対PTは、PT対TThのようである。 ところで、ThPはThOに等しく、PTはTX, OPsiのそれぞれに等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΘΟ πρὸς τὴν ΟΨ, οὕτως ἡ ΧΤ πρὸς τὴν ΤΘ. καί ἐστι παράλληλος ἡ μὲν ΘΟ τῇ ΤΧ·
したがって、ThO対OPsiは、XT対TThのようである。 そして、ThOはTXに平行である。
ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΔ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν·
なぜなら、それらのそれぞれはBD平面に対して直角だからである。
ἡ δὲ ΤΘ τῇ ΟΨ·
そしてTThはOPsiに平行である。
ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν τῷ ΒΖ ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθάς ἐστιν.
なぜなら、それらのそれぞれはBZ平面に対して直角だからである。
ἐὰν δὲ δύο τρίγωνα συντεθῇ κατὰ μίαν γωνίαν, ὡς τὰ ΨΟΘ, ΘΤΧ, τὰς δύο πλευρὰς ταῖς δυσὶν ἀνάλογον ἔχοντα, ὥστε τὰς ὁμολόγους αὐτῶν πλευρὰς καὶ παραλλήλους εἶναι, αἱ λοιπαὶ εὐθεῖαι ἐπʼ εὐθείας ἔσονται·
ところで、もし2つの三角形が、角PsiOTh, ThTXのように1つの角において組み合わされ、2つの辺が2つの辺に対して比例しており、それらの対応する辺が平行でもあるなら、残りの直線は一直線上にあるであろう。
ἐπʼ εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΨΘ τῇ ΘΧ. πᾶσα δὲ εὐθεῖα ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ·
したがって、PsiThはThXと一直線上にある。 ところで、すべての直線は一平面上にある。
ἐν ἑνὶ ἄρα ἐπιπέδῳ ἐστὶ τὸ ΥΒΧΓΦ πεντάγωνον.
したがって、五角形YBXGPhiは一平面上にある。
λέγω δή, ὅτι καὶ ἰσογώνιόν ἐστιν.
そこで、それは等角でもあると主張する。
ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΝΟ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ρ, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΟΡ, ἴση δὲ ἡ ΟΡ τῇ ΟΣ, ἡ ΝΣ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Ο, καὶ τὸ μεῖζον τμῆμά ἐστιν ἡ ΝΟ·
なぜなら、直線NOはRにおいて外中比に分けられており、そのより大きい線分はORであり、またORはOSに等しいので、したがってNSはOにおいて外中比に分けられており、そのより大きい線分はNOである。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΟ τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΟ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΝΟ τῇ ΝΒ, ἡ δὲ ΟΣ τῇ ΣΦ·
したがって、NS, SOの上の正方形の和はNOの上の正方形の3倍である。 ところで、NOはNBに等しく、OSはSPhiに等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΝΣ, ΣΦ τετράγωνα τριπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ·
したがって、NS, SPhiの上の正方形の和はNBの上の正方形の3倍である。
ὥστε τὰ ἀπὸ τῶν ΦΣ, ΣΝ, ΝΒ τετραπλάσιά ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΣΝ, ΝΒ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΣΒ·
ゆえに、 PhiS, SN, NBの上の正方形の和はNBの上の正方形の4倍である。 ところで、SN, NBの上の正方形の和にSBの上の正方形は等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΣ, ΣΦ, τουτέστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΦ 1, τετραπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΝΒ·
したがって、BS, SPhiの上の正方形の和、すなわちBPhiの上の正方形は、 NBの上の正方形の4倍である。
διπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΦΒ τῆς ΒΝ.
したがって、PhiBはBNの2倍である。