§13.prop.16#2δεῖ δὴ αὐτὸ καὶ σφαίρᾳ περιλαβεῖν τῇ δοθείσῃ καὶ δεῖξαι, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάσσων.
이제 그것을 주어진 구로 둘러싸는 것, 그리고 정이십면체의 한 변이 소위 '더 작은 것'이라 불리는 무리선임을 보여주는 것이 필요하다.
ἐπεὶ γὰρ ἑξαγώνου ἐστὶν ἡ ΦΧ, δεκαγώνου δὲ ἡ ΧΩ, ἡ ΦΩ ἄρα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ μεῖζον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΦΧ·
왜냐하면 PhiChi는 육각형의 한 변이고, ChiOmega는 십각형의 한 변이므로, 그러므로 PhiOmega는 Chi에서 외중비로 나누어지며, 그 더 큰 선분은 PhiChi이다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ. ἴση δὲ ἡ μὲν ΦΧ τῇ ΦΕ, ἡ δὲ ΧΩ τῇ ΦΨ·
그러므로 OmegaPhi 대 PhiChi는 PhiChi 대 ChiOmega와 같다. 그런데 PhiChi는 PhiE와 같고, ChiOmega는 PhiPsi와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΕ, οὕτως ἡ ΕΦ πρὸς τὴν ΦΨ. καί εἰσιν ὀρθαὶ αἱ ὑπὸ ΩΦΕ, ΕΦΨ γωνίαι·
그러므로 OmegaPhi 대 PhiE는 EPhi 대 PhiPsi와 같다. 그리고 각 OmegaPhiE, EPhiPsi는 직각이다.
ἐὰν ἄρα ἐπιζεύξωμεν τὴν ΕΩ εὐθεῖαν, ὀρθὴ ἔσται ἡ ὑπὸ ΨΕΩ γωνία διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΨΕΩ, ΦΕΩ τριγώνων.
그러므로 만약 직선 EOmega를 연결한다면, 삼각형 PsiEOmega와 PhiEOmega의 닮음에 의해 각 PsiEOmega는 직각이 될 것이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΩΦ πρὸς τὴν ΦΧ, οὕτως ἡ ΦΧ πρὸς τὴν ΧΩ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΩΦ τῇ ΨΧ, ἡ δὲ ΦΧ τῇ ΧΠ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΨΧ πρὸς τὴν ΧΠ, οὕτως ἡ ΠΧ πρὸς τὴν ΧΩ. καὶ διὰ τοῦτο πάλιν ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὴν ΠΨ, ὀρθὴ ἔσται ἡ πρὸς τῷ Π γωνία·
같은 이유로, OmegaPhi 대 PhiChi가 PhiChi 대 ChiOmega와 같고, OmegaPhi는 PsiChi와 같고, PhiChi는 ChiP와 같으므로, 그러므로 PsiChi 대 ChiP는 PChi 대 ChiOmega와 같다. 그리고 이 때문에 다시 만약 PPsi를 연결한다면, P에서의 각은 직각이 될 것이다.
τὸ ἄρα ἐπὶ τῆς ΨΩ γραφόμενον ἡμικύκλιον ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π. καὶ ἐὰν μενούσης τῆς ΨΩ περιενεχθὲν τὸ ἡμικύκλιον εἰς τὸ αὐτὸ πάλιν ἀποκατασταθῇ, ὅθεν ἤρξατο φέρεσθαι, ἥξει καὶ διὰ τοῦ Π καὶ τῶν λοιπῶν σημείων τοῦ εἰκοσαέδρου, καὶ ἔσται σφαίρᾳ περιειλημμένον τὸ εἰκοσάεδρον.
그러므로 PsiOmega 위에 그려지는 반원은 P도 지나갈 것이다. 그리고 만약 PsiOmega를 그대로 둔 채 반원을 회전시켜 그것이 움직이기 시작한 원래의 위치로 다시 되돌아오게 한다면, 그것은 P와 정이십면체의 나머지 점들도 지나갈 것이며, 정이십면체는 구로 둘러싸이게 될 것이다.
λέγω δή, ὅτι καὶ τῇ δοθείσῃ.
그렇다면 주어진 그것(구)에 의해서도 둘러싸인다고 나는 주장한다.
τετμήσθω γὰρ ἡ ΦΧ δίχα κατὰ τὸ Α#.
왜냐하면 PhiChi가 Α#에서 이등분되게 하라.
καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΦΩ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Χ, καὶ τὸ ἔλασσον αὐτῆς τμῆμά ἐστιν ἡ ΩΧ, ἡ ἄρα ΩΧ προσλαβοῦσα τὴν ἡμίσειαν τοῦ μείζονος τμήματος τὴν ΧΑ# πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τοῦ μείζονος τμήματος·
그리고 직선 PhiOmega는 Chi에서 외중비로 나누어져 있고, 그 더 작은 선분은 OmegaChi이므로, 그러므로 OmegaChi에 더 큰 선분의 절반인 ChiΑ#를 더한 것은 더 큰 선분의 절반 위의 (그려지는 정사각형의) 제곱의 5배를 이룬다.
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑ# τοῦ ἀπὸ τῆς Α#Χ. καί ἐστι τῆς μὲν ΩΑ# διπλῆ ἡ ΩΨ, τῆς δὲ Α#Χ διπλῆ ἡ ΦΧ·
그러므로 OmegaΑ# 위의 정사각형은 Α#Chi 위의 정사각형의 5배이다. 그리고 OmegaΑ#의 2배는 OmegaPsi이고, Α#Chi의 2배는 PhiChi이다.
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ τοῦ ἀπὸ τῆς ΧΦ. καὶ ἐπεὶ τετραπλῆ ἐστιν ἡ ΑΓ τῆς ΓΒ, πενταπλῆ ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΒ τῆς ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΒΔ·
그러므로 OmegaPsi 위의 정사각형은 ChiPhi 위의 정사각형의 5배이다. 그리고 AC가 GB의 4배이므로, 그러므로 AB는 BC의 5배이다. 그런데 AB 대 BC는 AB 위의 정사각형 대 BD 위의 정사각형과 같다.
πενταπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΔ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΩΨ πενταπλάσιον τοῦ ἀπὸ τῆς ΦΧ. καί ἐστιν ἴση ἡ ΔΒ τῇ ΦΧ·
그러므로 AB 위의 정사각형은 BD 위의 정사각형의 5배이다. 그런데 OmegaPsi 위의 정사각형도 PhiChi 위의 정사각형의 5배임이 증명되었다. 그리고 DB는 PhiChi와 같다.
ἑκατέρα γὰρ αὐτῶν ἴση ἐστὶ τῇ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου·
왜냐하면 그것들 각각은 원 EZHThK의 반지름과 같기 때문이다.
ἴση ἄρα καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΨΩ. καί ἐστιν ἡ ΑΒ ἡ τῆς δοθείσης σφαίρας διάμετρος·
그러므로 AB도 PsiOmega와 같다. 그리고 AB는 주어진 구의 지름이다.
καὶ ἡ ΨΩ ἄρα ἴση ἐστὶ τῇ τῆς δοθείσης σφαίρας διαμέτρῳ.
그러므로 PsiOmega도 주어진 구의 지름과 같다.
τῇ ἄρα δοθείσῃ σφαίρᾳ περιείληπται τὸ εἰκοσάεδρον.
그러므로 주어진 구에 정이십면체가 둘러싸여 있다.
λέγω δή, ὅτι ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
그렇다면 정이십면체의 한 변은 소위 '더 작은 것'이라 불리는 무리선이라고 나는 주장한다.
ἐπεὶ γὰρ ῥητή ἐστιν ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος, καί ἐστι δυνάμει πενταπλασίων τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου, ῥητὴ ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ ΕΖΗΘΚ κύκλου·
왜냐하면 구의 지름은 유리선이고, 그것은 원 EZHThK의 반지름에 대해 제곱에 있어서 5배이기 때문에, 그러므로 원 EZHThK의 반지름도 유리선이다.
ὥστε καὶ ἡ διάμετρος αὐτοῦ ῥητή ἐστιν.
따라서 그것의 지름도 유리선이다.
ἐὰν δὲ εἰς κύκλον ῥητὴν ἔχοντα τὴν διάμετρον πεντάγωνον ἰσόπλευρον ἐγγραφῇ, ἡ τοῦ πενταγώνου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
그런데 만약 유리선인 지름을 가진 원에 등변오각형이 내접한다면, 그 오각형의 한 변은 소위 '더 작은 것'이라 불리는 무리선이다.
ἡ δὲ τοῦ ΕΖΗΘΚ πενταγώνου πλευρὰ ἡ τοῦ εἰκοσαέδρου ἐστίν.
그런데 오각형 EZHThK의 한 변은 정이십면체의 한 변이다.
ἡ ἄρα τοῦ εἰκοσαέδρου πλευρὰ ἄλογός ἐστιν ἡ καλουμένη ἐλάττων.
그러므로 정이십면체의 한 변은 소위 '더 작은 것'이라 불리는 무리선이다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος δυνάμει πενταπλασίων ἐστὶ τῆς ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἀφʼ οὗ τὸ εἰκοσάεδρον ἀναγέγραπται, καὶ ὅτι ἡ τῆς σφαίρας διάμετρος σύγκειται ἔκ τε τῆς τοῦ ἑξαγώνου καὶ δύο τῶν τοῦ δεκαγώνου τῶν εἰς τὸν αὐτὸν κύκλον ἐγγραφομένων.
따름정리 이로부터 구의 지름은 그것에 기초하여 정이십면체가 그려진 원의 반지름에 대해 제곱에 있어서 5배라는 것과, 구의 지름은 같은 원에 내접하는 육각형의 한 변과 십각형의 두 변의 합으로 이루어진다는 것이 명백하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주고자 했던 것이다.