§12.prop.18αἱ σφαῖραι πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἰδίων διαμέτρων.
球は互いに、それぞれの直径の3乗の比にある。
Νενοήσθωσαν σφαῖραι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΓ, ΕΖ·
球ABG, DEZが考えられ、それらの直径をBG, EZとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
εἰ γὰρ μὴ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, ἕξει ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μείζονα ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐχέτω πρότερον πρὸς ἐλάσσονα τὴν ΗΘΚ, καὶ νενοήσθω ἡ ΔΕΖ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν τὴν ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας τῆς ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εἰς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον·
私は、球ABGが球 DEZに対して、BGがEZに対する比の3乗の比をもつ、と主張する。 なぜなら、もし球ABGが球DEZに対して、BGがEZに対する比の3乗の比をもたないならば、球ABGは、球DEZよりも小さいある球に対して、または球DEZよりも大きいある球に対して、BGがEZに対する比の3乗の比をもつであろう。 まず、より小さい球HThKに対して［その比を］もつとし、DEZがHThKと同じ中心のまわりにあると考えられ、より大きい球DEZに、その表面においてより小さい球HThKに接触しない立体多面体が内接されよ。 そして、球ABGの中にも、球DEZにおける立体多面体に相似な立体多面体が内接されよ。
τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ·
したがって、ABGにおける立体多面体は、DEZにおける立体多面体に対して、BGがEZに対する比の3乗の比をもつ。 しかし、球ABGも球 HThKに対して、BGがEZに対する比の3乗の比をもつ。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν, οὕτως τὸ ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον·
したがって、球ABGが球HThKに対するように、そのように球ABGにおける立体多面体は球DEZにおける立体多面体に対する。
ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν αὐτῇ πολύεδρον, οὕτως ἡ ΗΘΚ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον.
交互に、球ABGがその中にある多面体に対するように、そのように球 HThKは球DEZにおける立体多面体に対する。
μείζων δὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου·
そして、球ABGはその中にある多面体よりも大きい。
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα τοῦ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ πολυέδρου.
したがって、球HThKも球DEZにおける立体多面体よりも大きい。
ἀλλὰ καὶ ἐλάττων·
しかし、［それは］より小さくもある。
ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ.
なぜなら、それによって内包されているからである。
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ.
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μείζονα τὴν ΛΜΝ·
したがって、球ABGは、球DEZよりも小さい球に対して、直径BGがEZに対する比の3乗の比をもつことはない。 全く同様に、球DEZも球ABGよりも小さい球に対して、EZがBGに対する比の3乗の比をもたないことを私たちは示すであろう。 さて、球ABGは、球DEZよりも大きいある球に対しても BGがEZに対する比の3乗の比をもたない、と私は主張する。 なぜなら、もし可能なら、より大きい球LMNに対して［その比を］もつとせよ。
ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ διάμετρος πρὸς τὴν ΒΓ διάμετρον.
したがって、逆により、球LMNは球ABGに対して、直径EZが直径BGに対する比の3乗の比をもつ。
ὡς δὲ ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν, οὕτως ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας, ἐπειδήπερ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜΝ τῆς ΔΕΖ, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη.
そして、球LMNが球ABGに対するように、そのように球DEZは球ABGよりも小さいある球に対する。 なぜなら、LMNはDEZよりも大きいからであり、これは前に示された通りである。
καὶ ἡ ΔΕΖ ἄρα σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ·
したがって、球DEZも、球ABGよりも小さいある球に対して、EZが BGに対する比の3乗の比をもつ。
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
しかし、これは不可能であると示された。
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα.
したがって、球ABGは、球DEZよりも大きいある球に対して、BGがEZに対する比の3乗の比をもつことはない。 また、より小さい球に対してももたないことが示された。
ἡ ἄρα ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ·
したがって、球ABGは球DEZに対して、BGが EZに対する比の3乗の比をもつ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。