§13.prop.1ἐὰν εὐθεῖα γραμμὴ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου.
만약 선분이 외중비로 나누어진다면, 더 큰 선분에 전체의 절반을 더한 것 위의 정사각형은 그 절반 위의 정사각형의 5배이다.
εὐθεῖα γὰρ γραμμὴ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τετμήσθω κατὰ τὸ Γ σημεῖον, καὶ ἔστω μεῖζον τμῆμα τὸ ΑΓ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπʼ εὐθείας τῇ ΓΑ εὐθεῖα ἡ ΑΔ, καὶ κείσθω τῆς ΑΒ ἡμίσεια ἡ ΑΔ·
왜냐하면 선분 AB가 점 G에서 외중비로 나누어지게 하고, 더 큰 선분을 AG라 하고, GA의 연장선 위에 선분 AD가 연장되게 하며, AD는 AB의 절반과 같게 놓이게 하라.
λέγω, ὅτι πενταπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ.
ἀναγεγράφθωσαν γὰρ ἀπὸ τῶν ΑΒ, ΔΓ τετράγωνα τὰ ΑΕ, ΔΖ, καὶ καταγεγράφθω ἐν τῷ ΔΖ τὸ σχῆμα, καὶ διήχθω ἡ ΖΓ ἐπὶ τὸ Η. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΒ ἄκρον καὶ μέσον λόγον τέτμηται κατὰ τὸ Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΓ. καί ἐστι τὸ μὲν ὑπὸ τῶν ΑΒΓ τὸ ΓΕ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΓ τὸ ΖΘ·
나는 GD 위의 정사각형이 DA 위의 정사각형의 5배라고 주장한다. 왜냐하면 AB, DG 위에 정사각형 AE, DZ가 그려지게 하고, DZ 안에 도형이 작도되게 하며, ZG가 H까지 연장되게 하라. 그리고 AB가 G에서 외중비로 나누어졌으므로, 그러므로 AB, BG에 의해 둘러싸인 직사각형은 AG 위의 정사각형과 같다. 그리고 AB, BG에 의해 둘러싸인 직사각형은 GE이고, AG 위의 정사각형은 ZTh이다.
ἴσον ἄρα τὸ ΓΕ τῷ ΖΘ. καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΑ τῇ ΚΑ, ἡ δὲ ΑΔ τῇ ΑΘ, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΚΑ τῆς ΑΘ. ὡς δὲ ἡ ΚΑ πρὸς τὴν ΑΘ, οὕτως τὸ ΓΚ πρὸς τὸ ΓΘ·
그러므로 GE는 ZTh와 같다. 그리고 BA는 AD의 2배이고, BA는 KA와 같고, AD는 ATh와 같으므로, 그러므로 KA도 ATh의 2배이다. 그리고 KA가 ATh에 대함과 같이, 그렇게 GK는 GTh에 대한다.
διπλάσιον ἄρα τὸ ΓΚ τοῦ ΓΘ. εἰσὶ δὲ καὶ τὰ ΛΘ, ΘΓ διπλάσια τοῦ ΓΘ. ἴσον ἄρα τὸ ΚΓ τοῖς ΛΘ, ΘΓ. ἐδείχθη δὲ καὶ τὸ ΓΕ τῷ ΘΖ ἴσον·
그러므로 GK는 GTh의 2배이다. 그런데 LTh, ThG도 GTh의 2배이다. 그러므로 KG는 LTh, ThG의 합과 같다. 그리고 GE도 ThZ와 같음이 증명되었다.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τῷ ΜΝΞ γνώμονι.
그러므로 전체 정사각형 AE는 그노몬 MNX와 같다.
καὶ ἐπεὶ διπλῆ ἐστιν ἡ ΒΑ τῆς ΑΔ, τετραπλάσιόν ἐστι τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τοῦ ἀπὸ τῆς ΑΔ, τουτέστι τὸ ΑΕ τοῦ ΔΘ. ἴσον δὲ τὸ ΑΕ τῷ ΜΝΞ γνώμονι·
그리고 BA는 AD의 2배이므로, BA 위의 정사각형은 AD 위의 정사각형의 4배, 즉 AE는 DTh의 4배이다. 그런데 AE는 그노몬 MNX와 같다.
καὶ ὁ ΜΝΞ ἄρα γνώμων τετραπλάσιός ἐστι τοῦ ΑΟ·
그러므로 그노몬 MNX도 AO의 4배이다.
ὅλον ἄρα τὸ ΔΖ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ΑΟ. καί ἐστι τὸ μὲν ΔΖ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΓ, τὸ δὲ ΑΟ τὸ ἀπὸ τῆς ΔΑ·
그러므로 전체 DZ는 AO의 5배이다. 그리고 DZ는 DG 위의 정사각형이고, AO는 DA 위의 정사각형이다.
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΓΔ πενταπλάσιόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΔΑ.
ἐὰν ἄρα εὐθεῖα ἄκρον καὶ μέσον λόγον τμηθῇ, τὸ μεῖζον τμῆμα προσλαβὸν τὴν ἡμίσειαν τῆς ὅλης πενταπλάσιον δύναται τοῦ ἀπὸ τῆς ἡμισείας τετραγώνου·
그러므로 GD 위의 정사각형은 DA 위의 정사각형의 5배이다. 그러므로 만약 선분이 외중비로 나누어진다면, 더 큰 선분에 전체의 절반을 더한 것 위의 정사각형은 그 절반 위의 정사각형의 5배이다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.