§12.prop.8αἱ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
三角形の底面をもつ相似な錐体は、対応する辺の3乗比にある。
ἔστωσαν ὅμοιαι καὶ ὁμοίως κείμεναι πυραμίδες, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, θ σημεῖα·
底面が三角形ABG, DEZであり、頂点が点H, Thである、相似で相似に配置された錐体があるとする。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα.
私は言う、錐体ABGHは錐体DEZThに対して、BGがEZに対してもつ比の3乗比をもつと。 なぜなら、平行六面体BHML, EThPOが完成されたとせよ。
καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΓ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΕΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΠ παραλληλογράμμῳ.
そして、錐体ABGHは錐体DEZThに相似であるから、したがって角ABGは角DEZに等しく、角HBGは角ThEZに、角ABHは角DEThに等しく、さらに、ABのDEに対する比は、BGのEZに対する比、およびBHのEThに対する比に等しい。 そして、ABのDEに対する比はBGの EZに対する比のようであり、等しい角を挟む辺は比例しているから、したがって平行四辺形BMは平行四辺形EPに相似である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΒΝ τῷ ΕΡ ὅμοιόν ἐστι, τὸ δὲ ΒΚ τῷ ΕΞ·
同じ理由により、BNはERに、BKはEXに相似である。
τὰ τρία ἄρα τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖς ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ ὅμοιά ἐστιν.
したがって、3つのMB, BK, BNは3つのEP, EX, ERに相似である。
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν, τὰ δὲ τρία τὰ ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν.
しかし、3つの MB, BK, BNは、向かい合う3つの面にそれぞれ等しくかつ相似であり、3つのEP, EX, ERは向かい合う3つの面にそれぞれ等しくかつ相似である。
τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ ἄρα στερεὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων ἴσων τὸ πλῆθος περιέχεται.
したがって、立体BHML, EThPOは、等しい個数の相似な平面によって囲まれている。
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ.
したがって、立体BHMLは立体EThPOに相似である。
τὰ δὲ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
しかし、相似な平行六面体は対応する辺の3乗比にある。
τὸ ΒΗΜΛ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΕΖ. ὡς δὲ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἐπειδήπερ ἡ πυραμὶς ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ διὰ τὸ καὶ τὸ πρίσμα ἥμισυ ὂν τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τριπλάσιον εἶναι τῆς πυραμίδος.
したがって、立体BHMLは立体EThPOに対して、対応する辺BGが対応する辺EZに対してもつ比の3乗比をもつ。 ところで、立体BHMLの立体EThPOに対する比は、錐体ABGHの錐体DEZThに対する比に等しい。 なぜなら、錐体は立体の6分の1であり、それはまた、平行六面体たる立体の半分である柱体が錐体の3倍であるからである。
καὶ ἡ ΑΒΓΗ ἄρα πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ·
したがってまた、錐体ABGHは錐体DEZThに対して、BGが EZに対してもつ比の3乗比をもつ。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι καὶ αἱ πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
系このことから、多角形の底面をもつ相似な錐体もまた、互いに対応する辺の3乗比にあることが明らかである。
διαιρεθεισῶν γὰρ αὐτῶν εἰς τὰς ἐν αὐταῖς πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας τῷ καὶ τὰ ὅμοια πολύγωνα τῶν βάσεων εἰς ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖσθαι καὶ ἴσα τῷ πλήθει καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις ἔσται ὡς ἐν τῇ ἑτέρᾳ μία πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ μίαν πυραμίδα τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν, οὕτως καὶ ἅπασαι αἱ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδες τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς τὰς ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας, τουτέστιν αὐτὴ ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν πολύγωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα.
なぜなら、底面の相似な多角形が、全体に対応し、かつ個数が等しく、相似な三角形に分割されることにより、それらの錐体が、三角形の底面をもつその内部の錐体へと分割されるとき、一方の錐体における三角形の底面をもつ1つの錐体の、他方における三角形の底面をもつ1つの錐体に対する比は、一方の錐体における三角形の底面をもつすべての錐体の、他方の錐体における三角形の底面をもつすべての錐体に対する比に等しく、すなわち多角形の底面をもつ錐体自体の、多角形の底面をもつ錐体に対する比となるからである。
ἡ δὲ τρίγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν τρίγωνον βάσιν ἔχουσαν ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν·
しかし、三角形の底面をもつ錐体の、三角形の底面をもつ錐体に対する比は対応する辺の3乗比にある。
καὶ ἡ πολύγωνον ἄρα βάσιν ἔχουσα πρὸς τὴν ὁμοίαν βάσιν ἔχουσαν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.
したがってまた、多角形の底面をもつ錐体は相似な底面をもつ錐体に対して、辺が辺に対してもつ比の3乗比をもつ。