§12.prop.6#2ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΕΓ, ΓΔ. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΕΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΒΔ, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΔ τριγώνῳ·
なぜなら、BD, EG, GDが結ばれたとせよ。 ABEDは平行四辺形であり、BDはその対角線であるから、したがって三角形ABDは三角形EBDに等しい。
καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον.
そしてしたがってまた、底面が三角形ABDで頂点が点Gである錐体は、底面が三角形DEBで頂点が点Gである錐体に等しい。
ἀλλὰ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον·
しかし、底面が三角形DEBで頂点が点Gである錐体は、底面が三角形EBG であり、頂点が点Dである錐体と同一である。
ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχεται.
なぜなら、それらは同じ平面によって囲まれているからである。
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
したがってまた、底面が三角形ABDで頂点が点Gである錐体は、底面が三角形EBGで頂点が点Dである錐体に等しい。
πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΖΓΒΕ, διάμετρος δέ ἐστιν αὐτοῦ ἡ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΕΖ τρίγωνον τῷ ΓΒΕ τριγώνῳ.
再び、ZGBEは平行四辺形であり、GEはその対角線であるから、三角形GEZは三角形GBEに等しい。
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΓΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
したがってまた、底面が三角形BGE であり、頂点が点Dである錐体は、底面が三角形EGZで頂点が点Dである錐体に等しい。
ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐδείχθη πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον·
しかし、底面が三角形BGE であり、頂点が点Dである錐体は、底面が三角形ABDで頂点が点Gである錐体に等しいと示された。
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΓΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον·
したがってまた、底面が三角形GEZで頂点が点Dである錐体は、底面が三角形ABDで頂点が点Gである錐体に等しい。
διῄρηται ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις.
したがって、柱体ABGDEZは、三角形の底面をもつ互いに等しい3つの錐体に分割された。
καὶ ἐπεὶ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΓΑΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχονται· ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, τρίτον ἐδείχθη τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ, καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, τρίτον ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ ἔχοντος βάσιν τὴν αὐτὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον·
そして、底面が三角形ABDで頂点が点Gである錐体は、底面が三角形GABで頂点が点Dである錐体と同一であるから（なぜなら、それらは同じ平面によって囲まれているからである）、しかし、底面が三角形ABDで頂点が点Gである錐体は、底面が三角形ABGで反対側の面がDEZである柱体の3分の1であると示された。 したがってまた、底面が三角形ABGで頂点が点Dである錐体は、同一の底面である三角形ABGをもち、反対側の面がDEZである柱体の3分の1である。 系このことから、すべての錐体は、それと同一の底面をもち、かつ高さが等しい柱体の3分の1であることが明らかである。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。