§12.prop.8αἱ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
삼각형 밑면을 가진 닮은 각뿔들은 대응하는 변들의 3제곱 비에 있다.
ἔστωσαν ὅμοιαι καὶ ὁμοίως κείμεναι πυραμίδες, ὧν βάσεις μέν εἰσι τὰ ΑΒΓ, ΔΕΖ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Η, θ σημεῖα·
밑면은 삼각형 ABG, DEZ이고 꼭짓점은 점 H, Th인 닮고 닮은 위치에 놓인 각뿔들이 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα.
나는 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZTh에 대하여 BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3제곱 비를 가진다고 주장한다. 왜냐하면 평행육면체 입체 BHML, EThPO가 완성되었다고 하자.
καὶ ἐπεὶ ὁμοία ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ μὲν ὑπὸ ΑΒΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΕΖ γωνίᾳ, ἡ δὲ ὑπὸ ΗΒΓ τῇ ὑπὸ ΘΕΖ, ἡ δὲ ὑπὸ ΑΒΗ τῇ ὑπὸ ΔΕΘ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΕΘ. καὶ ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΔΕ, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον τῷ ΕΠ παραλληλογράμμῳ.
그리고 각뿔 ABGH는 각뿔 DEZTh와 닮았으므로, 그러므로 각 ABG는 각 DEZ와 같고, 각 HBG는 각 ThEZ와 같으며, 각 ABH는 각 DETh와 같고, AB가 DE에 대한 비는 BG가 EZ에 대한 비, 그리고 BH가 ETh에 대한 비와 같다. 그리고 AB가 DE에 대한 비는 BG가 EZ에 대한 비와 같고, 같은 각들을 끼고 있는 변들은 비례하므로, 그러므로 평행사변형 BM은 평행사변형 EP와 닮았다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΒΝ τῷ ΕΡ ὅμοιόν ἐστι, τὸ δὲ ΒΚ τῷ ΕΞ·
같은 이유로 BN도 ER과 닮았고, BK는 EX과 닮았다.
τὰ τρία ἄρα τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖς ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ ὅμοιά ἐστιν.
그러므로 세 면 MB, BK, BN은 세 면 EP, EX, ER과 닮았다.
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τὰ ΜΒ, ΒΚ, ΒΝ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν, τὰ δὲ τρία τὰ ΕΠ, ΕΞ, ΕΡ τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα τε καὶ ὅμοιά ἐστιν.
그런데 세 면 MB, BK, BN은 맞은편의 세 면과 각각 같고 닮았으며, 세 면 EP, EX, ER은 맞은편의 세 면과 각각 같고 닮았다.
τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ ἄρα στερεὰ ὑπὸ ὁμοίων ἐπιπέδων ἴσων τὸ πλῆθος περιέχεται.
그러므로 입체 BHML, EThPO는 수적으로 같고 닮은 평면들에 의해 둘러싸여 있다.
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ.
그러므로 입체 BHML은 입체 EThPO와 닮았다.
τὰ δὲ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
그런데 닮은 평행육면체 입체들은 대응하는 변들의 3제곱 비에 있다.
τὸ ΒΗΜΛ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΕΖ. ὡς δὲ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, οὕτως ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα, ἐπειδήπερ ἡ πυραμὶς ἕκτον μέρος ἐστὶ τοῦ στερεοῦ διὰ τὸ καὶ τὸ πρίσμα ἥμισυ ὂν τοῦ στερεοῦ παραλληλεπιπέδου τριπλάσιον εἶναι τῆς πυραμίδος.
그러므로 입체 BHML은 입체 EThPO에 대하여 대응하는 변 BG가 대응하는 변 EZ에 대하여 가지는 비의 3제곱 비를 가진다. 그런데 입체 BHML이 입체 EThPO에 대한 비는, 각뿔 ABGH가 각뿔 DEZTh에 대한 비와 같은데, 왜냐하면 각뿔은 입체의 6분의 1이기 때문이며, 이는 평행육면체 입체의 절반인 각기둥이 각뿔의 3배이기 때문이다.
καὶ ἡ ΑΒΓΗ ἄρα πυραμὶς πρὸς τὴν ΔΕΖΘ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ·
그러므로 또한 각뿔 ABGH는 각뿔 DEZTh에 대하여 BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3제곱 비를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι καὶ αἱ πολυγώνους ἔχουσαι βάσεις ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
따름정리 이로부터 다각형 밑면을 가진 닮은 각뿔들도 서로 대응하는 변들의 3제곱 비에 있다는 것이 분명하다.
διαιρεθεισῶν γὰρ αὐτῶν εἰς τὰς ἐν αὐταῖς πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας τῷ καὶ τὰ ὅμοια πολύγωνα τῶν βάσεων εἰς ὅμοια τρίγωνα διαιρεῖσθαι καὶ ἴσα τῷ πλήθει καὶ ὁμόλογα τοῖς ὅλοις ἔσται ὡς ἐν τῇ ἑτέρᾳ μία πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ μίαν πυραμίδα τρίγωνον ἔχουσαν βάσιν, οὕτως καὶ ἅπασαι αἱ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδες τριγώνους ἔχουσαι βάσεις πρὸς τὰς ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πυραμίδας τριγώνους βάσεις ἐχούσας, τουτέστιν αὐτὴ ἡ πολύγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν πολύγωνον βάσιν ἔχουσαν πυραμίδα.
왜냐하면 그것들이 내부의 삼각형 밑면을 가진 각뿔들로 분할될 때, 밑면의 닮은 다각형들도 수적으로 같고 전체에 대응하는 닮은 삼각형들로 분할됨으로써, 한쪽 각뿔에서 삼각형 밑면을 가진 한 각뿔이 다른 쪽의 삼각형 밑면을 가진 한 각뿔에 대한 비는, 한쪽 각뿔에 있는 삼각형 밑면을 가진 모든 각뿔이 다른 쪽 각뿔에 있는 삼각형 밑면을 가진 모든 각뿔들에 대한 비와 같으며, 이는 곧 다각형 밑면을 가진 각뿔 자체의 다각형 밑면을 가진 각뿔에 대한 비가 되기 때문이다.
ἡ δὲ τρίγωνον βάσιν ἔχουσα πυραμὶς πρὸς τὴν τρίγωνον βάσιν ἔχουσαν ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν·
그런데 삼각형 밑면을 가진 각뿔이 삼각형 밑면을 가진 각뿔에 대한 비는 대응하는 변들의 3제곱 비에 있다.
καὶ ἡ πολύγωνον ἄρα βάσιν ἔχουσα πρὸς τὴν ὁμοίαν βάσιν ἔχουσαν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ πλευρὰ πρὸς τὴν πλευράν.
그러므로 또한 다각형 밑면을 가진 각뿔은 닮은 밑면을 가진 각뿔에 대하여 변이 변에 대하여 가지는 비의 3제곱 비를 가진다.