§12.prop.9τῶν ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν·
三角形の底面をもつ等しい錐体においては、底面と高さは反比例する。
καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι.
また、三角形の底面をもつ錐体において、底面と高さが反比例するならば、それらの錐体は等しい。
ἔστωσαν γὰρ ἴσαι πυραμίδες τριγώνους βάσεις ἔχουσαι τὰς ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰς δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα·
なぜなら、底面が三角形ABG, DEZであり、頂点が点H, Thである、等しい錐体があるとする。
λέγω, ὅτι τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος.
私は言う、錐体ABGH, DEZThにおいては底面と高さが反比例し、底面ABGの底面DEZに対する比は、錐体DEZThの高さの錐体ABGHの高さに対する比に等しいと。
συμπεπληρώσθω γὰρ τὰ ΒΗΜΛ, ΕΘΠΟ στερεὰ παραλληλεπίπεδα.
なぜなら、平行六面体BHML, EThPOが完成されたとせよ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι, καί ἐστι τῆς μὲν ΑΒΓΗ πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΒΗ ΜΛ στερεόν, τῆς δὲ ΔΕΖΘ πυραμίδος ἑξαπλάσιον τὸ ΕΘΠΟ στερεόν, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν τῷ ΕΘΠΟ στερεῷ.
そして、錐体ABGHは錐体DEZThに等しく、錐体ABGHの 6倍は立体BHMLであり、錐体DEZThの6倍は立体EThPOであるから、したがって立体BHMLは立体EThPOに等しい。
τῶν δὲ ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν·
ところで、等しい平行六面体においては底面と高さは反比例する。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος.
したがって、底面BMの底面EPに対する比は、立体EThPOの高さの立体BHMLの高さに対する比に等しい。
ἀλλʼ ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον.
しかし、底面BMの底面EPに対する比は、三角形ABGの三角形DEZに対する比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος.
したがって、三角形ABGの三角形DEZに対する比もまた、立体EThPOの高さの立体BHMLの高さに対する比に等しい。
ἀλλὰ τὸ μὲν τοῦ ΕΘΠΟ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψει, τὸ δὲ τοῦ ΒΗΜΛ στερεοῦ ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψει·
しかし、立体EThPOの高さは、錐体DEZThの高さに等しく、立体BHMLの高さは、錐体ABGHの高さに等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος.
したがって、底面ABGの底面DEZに対する比は、錐体DEZThの高さの錐体ABGHの高さに対する比に等しい。
τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ ἄρα πυραμίδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
したがって、錐体ABGH, DEZThにおいては底面と高さが反比例する。
ἀλλὰ δὴ τῶν ΑΒΓΗ, ΔΕΖΘ πυραμίδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος·
次に、錐体ABGH, DEZThにおいて底面と高さが反比例するとし、底面ABGの底面DEZに対する比は、錐体DEZThの高さの錐体ABGHの高さに対する比に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι.
私は言う、錐体ABGHは錐体DEZThに等しいと。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος, ἀλλʼ ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, καὶ ὡς ἄρα τὸ ΒΜ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΕΠ παραλληλόγραμμον, οὕτως τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος πρὸς τὸ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος.
なぜなら、同じ作図がなされたとき、底面ABGの底面DEZに対する比は、錐体DEZThの高さの錐体ABGHの高さに対する比に等しく、しかし底面ABGの底面DEZに対する比は、平行四辺形BMの平行四辺形EPに対する比に等しいから、したがってまた、平行四辺形BMの平行四辺形EPに対する比は、錐体DEZThの高さの錐体ABGHの高さに対する比に等しい。
ἀλλὰ τὸ τῆς ΔΕΖΘ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψει, τὸ δὲ τῆς ΑΒΓΗ πυραμίδος ὕψος τὸ αὐτό ἐστι τῷ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψει·
しかし、錐体DEZThの高さは、平行六面体EThPOの高さと同じであり、錐体ABGHの高さは、平行六面体BHMLの高さと同じである。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΜ βάσις πρὸς τὴν ΕΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΗΜΛ παραλληλεπιπέδου ὕψος.
したがって、底面BMの底面EPに対する比は、平行六面体EThPOの高さの平行六面体BHMLの高さに対する比に等しい。
ὧν δὲ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα·
ところで、底面と高さが反比例する平行六面体は等しい。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΗΜΛ στερεὸν παραλληλεπίπεδον τῷ ΕΘ ΠΟ στερεῷ παραλληλεπιπέδῳ.
したがって、平行六面体BHMLは平行六面体EThPOに等しい。
καί ἐστι τοῦ μὲν ΒΗΜΛ ἕκτον μέρος ἡ ΑΒΓΗ πυραμίς, τοῦ δὲ ΕΘΠΟ παραλληλεπιπέδου ἕκτον μέρος ἡ ΔΕΖΘ πυραμίς·
そして、錐体ABGHは平行六面体BHMLの6分の1であり、錐体DEZThは平行六面体EThPOの6分の1である。
ἴση ἄρα ἡ ΑΒΓΗ πυραμὶς τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι.
したがって、錐体ABGHは錐体DEZThに等しい。
τῶν ἄρα ἴσων πυραμίδων καὶ τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν·
したがって、三角形の底面をもつ等しい錐体においては、底面と高さは反比例する。
καὶ ὧν πυραμίδων τριγώνους βάσεις ἐχουσῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσαι εἰσὶν ἐκεῖναι·
また、三角形の底面をもつ錐体において、底面と高さが反比例するならば、それらは等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。