§12.prop.6#2ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΒΔ, ΕΓ, ΓΔ. ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΕΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΒΔ, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΕΒΔ τριγώνῳ·
왜냐하면 BD, EG, GD가 연결되었다고 하자. ABED는 평행사변형이고, BD는 그것의 대각선이므로, 그러므로 삼각형 ABD는 삼각형 EBD와 같다.
καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον.
그러므로 또한 밑면은 삼각형 ABD이고 꼭짓점은 점 G인 각뿔은 밑면이 삼각형 DEB이고 꼭짓점은 점 G인 각뿔과 같다.
ἀλλὰ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΔΕΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον·
그런데 밑면이 삼각형 DEB이고 꼭짓점은 점 G인 각뿔은 밑면이 삼각형 EBG 이고 꼭짓점은 점 D인 각뿔과 같다.
ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχεται.
왜냐하면 그것들은 같은 평면들에 의해 둘러싸여 있기 때문이다.
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
그러므로 또한 밑면은 삼각형 ABD이고 꼭짓점은 점 G인 각뿔은 밑면이 삼각형 EBG이고 꼭짓점은 점 D인 각뿔과 같다.
πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΖΓΒΕ, διάμετρος δέ ἐστιν αὐτοῦ ἡ ΓΕ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΓΕΖ τρίγωνον τῷ ΓΒΕ τριγώνῳ.
다시, ZGBE는 평행사변형 이고, GE는 그것의 대각선이므로, 삼각형 GEZ는 삼각형 GBE와 같다.
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΕΓΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
그러므로 또한 밑면은 삼각형 BGE 이고 꼭짓점은 점 D인 각뿔은 밑면이 삼각형 EGZ이고 꼭짓점은 점 D인 각뿔과 같다.
ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΒΓΕ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐδείχθη πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον·
그런데 밑면이 삼각형 BGE 이고 꼭짓점은 점 D인 각뿔은 밑면이 삼각형 ABD이고 꼭짓점은 점 G인 각뿔과 같다는 것이 증명되었다.
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΓΕΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον·
그러므로 또한 밑면은 삼각형 GEZ이고 꼭짓점은 점 D인 각뿔은 밑면이 삼각형 ABD이고 꼭짓점은 점 G인 각뿔과 같다.
διῄρηται ἄρα τὸ ΑΒΓΔΕΖ πρίσμα εἰς τρεῖς πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους ἐχούσας βάσεις.
그러므로 각기둥 ABGDEZ는 삼각형 밑면을 가지고 서로 같은 세 각뿔로 분할되었다.
καὶ ἐπεὶ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, ἡ αὐτή ἐστι πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΓΑΒ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον· ὑπὸ γὰρ τῶν αὐτῶν ἐπιπέδων περιέχονται· ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΔ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Γ σημεῖον, τρίτον ἐδείχθη τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ, καὶ ἡ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, τρίτον ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ ἔχοντος βάσιν τὴν αὐτὴν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΔΕΖ.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι πᾶσα πυραμὶς τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ πρίσματος τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῇ καὶ ὕψος ἴσον·
그리고 밑면이 삼각형 ABD이고 꼭짓점은 점 G인 각뿔은 밑면이 삼각형 GAB이고 꼭짓점은 점 D인 각뿔과 같으므로, 왜냐하면 그것들은 같은 평면들에 의해 둘러싸여 있기 때문이다, 그런데 밑면이 삼각형 ABD이고 꼭짓점은 점 G인 각뿔은 밑면이 삼각형 ABG이고 맞은편 면은 DEZ인 각기둥의 3분의 1임이 증명되었으므로, 그러므로 또한 밑면은 삼각형 ABG이고 꼭짓점은 점 D인 각뿔은 같은 밑면인 삼각형 ABG를 가지고 맞은편 면은 DEZ인 각기둥 의 3분의 1이다. 따름정리 이로부터 모든 각뿔은 그것과 같은 밑면을 가지고 높이가 같은 각기둥의 3분의 1이라는 것이 분명하다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 일이었다.