§12.prop.4#1ἐὰν ὦσι δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους ἔχουσαι βάσεις, διαιρεθῇ δὲ ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, ἔσται ὡς ἡ τῆς μιᾶς πυραμίδος βάσις πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας πυραμίδος βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ.
もし2つの錐体があり、それらが同じ高さのもとで三角形の底面をもち、かつそれらのそれぞれが互いに等しくかつ全体に相似な2つの錐体と、2つの等しい柱体とに分割されるならば、一方の錐体の底面が他方の錐体の底面に及ぼす比は、一方の錐体におけるすべての柱体が他方の錐体における同数のすべての柱体に及ぼす比と同じである。
ἔστωσαν δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους ἔχουσαι βάσεις τὰς ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰς δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα·
同じ高さのもとで、三角形の底面ABG, DEZをもち、頂点が点H, Qである2つの錐体があるとし、それらのそれぞれが、互いに等しくかつ全体に相似な2つの錐体と、2つの等しい柱体に分割されているとする。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα ἰσοπληθῆ.
私は言う、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、錐体ABGHにおけるすべての柱体が、錐体DEZQにおける同数のすべての柱体に及ぼす比と同じである、と。
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΞ τῇ ΞΓ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΑΒ καὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΞΓ τριγώνῳ.
なぜなら、BXがXGに等しく、ALがLGに等しいので、LXはABに平行であり、三角形ABGは三角形LXGに相似である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΡΦΖ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν.
同じ理由によって、三角形DEZも三角形RFZに相似である。
καὶ ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῆς ΓΞ, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΦ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΞ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΦ. καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΒΓ, ΓΞ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΒΓ, ΛΞΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΖΦ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΔΕΖ, ΡΦΖ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον·
そして、BGがGXの2倍であり、EZがZFの2倍であるので、 BGのGXに及ぼす比は、EZのZFに及ぼす比と同じである。 そして、BG, GXからは、相似で同様に位置する直線図形ABG, LXGが描かれており、EZ, ZFからは、相似で同様に位置する図形DEZ, RFZが描かれている。 したがって、三角形ABGの三角形LXGに及ぼす比は、三角形DEZの三角形RFZに及ぼす比と同じである。
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ΛΞΓ πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον.
したがって交互に、三角形ABGの三角形DEZに及ぼす比は、三角形LXGの三角形RFZに及ぼす比と同じである。
ἀλλʼ ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ·
しかし、三角形LXGの三角形RFZに及ぼす比は、底面が三角形LXGで、それに向かい合う面がOMNである柱体の、底面が三角形RFZで、それに向かい合う面がSTYである柱体に及ぼす比と同じである。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. ὡς δὲ τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ εὐθεῖα, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα.
したがってまた、三角形ABGの三角形DEZに及ぼす比は、底面が三角形LXGで、それに向かい合う面がOMNである柱体の、底面が三角形RFZで、それに向かい合う面がSTYである柱体に及ぼす比と同じである。 そして、言及された柱体たちの互いに対する比は、底面が平行四辺形KBXLで、それに向かい合う直線がOMである柱体の、底面が平行四辺形PEFRで、それに向かい合う直線がSTである柱体に及ぼす比と同じである。
καὶ τὰ δύο ἄρα πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ, καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὰ πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα πρὸς τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα.
したがってまた、2つの柱体、すなわち底面が平行四辺形KBXLで、それに向かい合う直線がOMであるものと、底面がLXGで、それに向かい合う面がOMNであるものとの底面がPEFRで、それに向かい合う直線がSTであるものと、底面が三角形RFZで、それに向かい合う面がSTYであるものとの柱体たちに対する比（も同じである）。 したがってまた、底面ABGが底面DEZに及ぼす比は、言及された2つの柱体が言及された2つの柱体に及ぼす比と同じである。