§12.prop.3#2καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ·
そして、BAのAGに及ぼす比は、KQのQLに及ぼす比と同じである。
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ.
したがって、三角形ABGは三角形QKLに相似である。
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
したがってまた、底面が三角形ABGで頂点が点Dである錐体は、底面が三角形QKLで頂点が点Dである錐体に相似である。
ἀλλὰ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐδείχθη πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον.
しかし、底面が三角形QKLで頂点が点Dである錐体は、底面が三角形AEHで頂点が点Qである錐体に相似であると示された。
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕΗΘ, ΘΚΛΔ πυραμίδων ὁμοία ἐστὶ τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι.
したがって、2つの錐体AEHQ, QKLDの各々は、全体である錐体ABGDに相似である。
¯Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ, διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΖΓ τριγώνου.
そして、BZはZGに等しいので、平行四辺形EBZHは三角形HZGの2倍である。
καὶ ἐπεί, ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ πρίσμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΒΚΖ, ΕΘΗ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΕΒΖΗ, ΕΒΚΘ, ΘΚΖΗ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΖΓ, ΘΚΛ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΚΖΓΛ, ΛΓΗΘ, ΘΚΖΗ. καὶ φανερόν, ὅτι ἑκάτερον τῶν πρισμάτων, οὗ τε βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσις τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρας τῶν πυραμίδων, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα, ἐπειδήπερ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΕΖ, ΕΚ εὐθείας, τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον.
そして、もし 2つの柱体が等高であり、一方の底面が平行四辺形、他方の底面が三角形であって、かつその平行四辺形が三角形の2倍であるならば、それらの柱体は等しい、ので、したがって、2つの三角形BKZ, EQHと、3つの平行四辺形EBZH, EBKQ, QKZHによって囲まれた柱体は、2つの三角形HZG, QKLと、3つの平行四辺形 KZGL, LGHQ, QKZHによって囲まれた柱体に等しい。 そして明らかである。 底面が平行四辺形EBZHで、それに向かい合う直線がQKである柱体と、底面が三角形HZGで、それに向かい合う三角形がQKLである柱体のそれぞれは、底面が三角形AEH, QKLで頂点が点Q, Dである2つの錐体のそれぞれよりも大きいことが。 なぜなら、もし直線EZ, EKを結ぶならば、底面が平行四辺形EBZHでそれに向かい合う直線がQKである柱体は、底面が三角形EBZで頂点が点Kである錐体よりも大きいからである。
ἀλλʼ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον·
しかし、底面が三角形EBZで頂点が点Kである錐体は、底面が三角形AEHで頂点が点Qである錐体に等しい。
ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται.
なぜなら、それらは等しくかつ相似な平面によって囲まれているからである。
ὥστε καὶ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι πυραμίδος, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον.
したがって、底面が平行四辺形EBZHで、それに向かい合う直線がQKである柱体も、底面が三角形AEHで頂点が点Qである錐体よりも大きい。
ἴσον δὲ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, τῷ πρίσματι, οὗ βάσις μὲν τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον·
そして、底面が平行四辺形EBZHで、それに向かい合う直線がQKである柱体は、底面が三角形HZGで、それに向かい合う三角形がQKLである柱体に等しい。
ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
また、底面が三角形AEHで頂点が点Qである錐体は、底面が三角形QKLで頂点が点Dである錐体に等しい。
τὰ ἄρα εἰρημένα δύο πρίσματα μείζονά ἐστι τῶν εἰρημένων δύο πυραμίδων, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα.
したがって、言及された2つの柱体は、底面が三角形AEH, QKLで、頂点が点Q, Dである、言及された2つの錐体よりも大きい。
ἡ ἄρα ὅλη πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, διῄρηται εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος·
したがって、底面が三角形ABGで、頂点が点Dである全体の錐体は、互いに等しい2つの錐体と、2つの等しい柱体に分割され、かつこの2つの柱体は全体の錐体の半分よりも大きい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそが示すべきことであった。