§12.prop.4#1ἐὰν ὦσι δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους ἔχουσαι βάσεις, διαιρεθῇ δὲ ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, ἔσται ὡς ἡ τῆς μιᾶς πυραμίδος βάσις πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας πυραμίδος βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ μιᾷ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ἑτέρᾳ πυραμίδι πρίσματα πάντα ἰσοπληθῆ.
만일 높이가 같고 삼각형 밑면을 가진 두 각뿔이 있고, 그 각각이 서로 같고 전체와 닮은 두 각뿔과 두 개의 같은 각기둥으로 분할된다면, 한 각뿔의 밑면이 다른 각뿔의 밑면에 대하여 가지는 비는, 그 한 각뿔 안의 모든 각기둥이 다른 각뿔 안의 모든 동수의 각기둥에 대하여 가지는 비와 같을 것이다.
ἔστωσαν δύο πυραμίδες ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος τριγώνους ἔχουσαι βάσεις τὰς ΑΒΓ, ΔΕΖ, κορυφὰς δὲ τὰ Η, Θ σημεῖα, καὶ διῃρήσθω ἑκατέρα αὐτῶν εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα·
높이가 같고 삼각형 밑면 ABG, DEZ를 가지며, 꼭짓점이 점 H, Q인 두 각뿔이 있다고 하고, 그 각각이 서로 같고 전체와 닮은 두 각뿔과 두 개의 같은 각기둥으로 분할되어 있다고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ ἐν τῇ ΑΒΓΗ πυραμίδι πρίσματα πάντα πρὸς τὰ ἐν τῇ ΔΕΖΘ πυραμίδι πρίσματα ἰσοπληθῆ.
나는 말한다, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는, 각뿔 ABGH 안의 모든 각기둥이 각뿔 DEZQ 안의 모든 동수의 각기둥에 대하여 가지는 비와 같다고.
ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΒΞ τῇ ΞΓ, ἡ δὲ ΑΛ τῇ ΛΓ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΞ τῇ ΑΒ καὶ ὅμοιον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΛΞΓ τριγώνῳ.
왜냐하면 BX는 XG와 같고, AL은 LG와 같으므로, LX는 AB와 평행하고 삼각형 ABG는 삼각형 LXG와 닮았다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΔΕΖ τρίγωνον τῷ ΡΦΖ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν.
같은 이유로 삼각형 DEZ 또한 삼각형 RFZ와 닮았다.
καὶ ἐπεὶ διπλασίων ἐστὶν ἡ μὲν ΒΓ τῆς ΓΞ, ἡ δὲ ΕΖ τῆς ΖΦ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΓΞ, οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΦ. καὶ ἀναγέγραπται ἀπὸ μὲν τῶν ΒΓ, ΓΞ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα εὐθύγραμμα τὰ ΑΒΓ, ΛΞΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΕΖ, ΖΦ ὅμοιά τε καὶ ὁμοίως κείμενα τὰ ΔΕΖ, ΡΦΖ. ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, οὕτως τὸ ΔΕΖ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον·
그리고 BG는 GX의 두 배이고, EZ는 ZF의 두 배이므로, BG가 GX에 대하여 가지는 비는 EZ가 ZF에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 BG, GX 위에는 닮고 닮은 위치에 놓인 직선도형 ABG, LXG가 그려져 있고, EZ, ZF 위에는 닮고 닮은 위치에 놓인 도형 DEZ, RFZ가 그려져 있다. 그러므로 삼각형 ABG가 삼각형 LXG에 대하여 가지는 비는 삼각형 DEZ가 삼각형 RFZ에 대하여 가지는 비와 같다.
ἐναλλὰξ ἄρα ἐστὶν ὡς τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ, οὕτως τὸ ΛΞΓ πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον.
그러므로 번항하면, 삼각형 ABG가 삼각형 DEZ에 대하여 가지는 비는 삼각형 LXG가 삼각형 RFZ에 대하여 가지는 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς τὸ ΛΞΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ·
그런데 삼각형 LXG가 삼각형 RFZ에 대하여 가지는 비는, 밑면이 삼각형 LXG이고 그것과 마주보는 면이 OMN인 각기둥이, 밑면이 삼각형 RFZ이고 그것과 마주보는 면이 STY인 각기둥에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ΔΕΖ τρίγωνον, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. ὡς δὲ τὰ εἰρημένα πρίσματα πρὸς ἄλληλα, οὕτως τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ εὐθεῖα, πρὸς τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα.
그러므로 또한, 삼각형 ABG가 삼각형 DEZ에 대하여 가지는 비는, 밑면이 삼각형 LXG이고 그것과 마주보는 면이 OMN인 각기둥이, 밑면이 삼각형 RFZ이고 그것과 마주보는 면이 STY인 각기둥에 대하여 가지는 비와 같다. 그리고 위에서 언급한 각기둥들의 서로에 대한 비는, 밑면이 평행사변형 KBXL이고 그것과 마주보는 직선이 OM인 각기둥이, 밑면이 평행사변형 PEFR이고 그것과 마주보는 직선이 ST인 각기둥에 대하여 가지는 비와 같다.
καὶ τὰ δύο ἄρα πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΚΒΞΛ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΟΜ, καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΛΞΓ, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΟΜΝ, πρὸς τὰ πρίσματα, οὗ τε βάσις μὲν τὸ ΠΕΦΡ, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΣΤ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσις μὲν τὸ ΡΦΖ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΣΤΥ. καὶ ὡς ἄρα ἡ ΑΒΓ βάσις πρὸς τὴν ΔΕΖ βάσιν, οὕτως τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα πρὸς τὰ εἰρημένα δύο πρίσματα.
그러므로 또한, 두 각기둥, 즉 밑면이 평행사변형 KBXL이고 그것과 마주보는 직선이 OM인 것과, 밑면이 삼각형 LXG이고 그것과 마주보는 면이 OMN인 것은, 밑면이 평행사변형 PEFR이고 그것과 마주보는 직선이 ST인 것과, 밑면이 삼각형 RFZ이고 그것과 마주보는 면이 STY인 각기둥들에 대하여 가지는 비와 같다. 그러므로 또한, 밑면 ABG가 밑면 DEZ에 대하여 가지는 비는, 위에서 언급한 두 각기둥이 위에서 언급한 두 각기둥에 대하여 가지는 비와 같다.