§12.prop.3#1πᾶσα πυραμὶς τρίγωνον ἔχουσα βάσιν διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας τε καὶ ὁμοίας ἀλλήλαις καὶ τῇ ὅλῃ τριγώνους ἐχούσας βάσεις καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα·
三角形を底面とするすべての錐体は、互いに等しくかつ相似で、かつ全体とも相似であり、三角形の底面を持つ2つの錐体と、2つの等しい柱体に分割される。
καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος.
そして、これら2つの柱体は、全体の錐体の半分よりも大きい。
ἔστω πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον·
底面が三角形ABGであり、頂点が点Dである錐体があるものとせよ。
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓΔ πυραμὶς διαιρεῖται εἰς δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις τριγώνους βάσεις ἐχούσας καὶ ὁμοίας τῇ ὅλῃ καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα· καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος.
次に私は言う、錐体ABGDは、互いに等しく、三角形の底面を持ち、かつ全体と相似な2つの錐体と、2つの等しい柱体に分割され、かつこの2つの柱体は全体の錐体の半分よりも大きい、と。
τετμήσθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΑ, ΑΔ, ΔΒ, ΔΓ δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ, Κ, Λ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΕ, ΕΗ, ΗΘ, ΘΚ, ΚΛ, ΛΘ, ΚΖ, ΖΗ. ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΕ τῇ ΕΒ, ἡ δὲ ΑΘ τῇ ΔΘ, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΘ τῇ ΔΒ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΘΚ τῇ ΑΒ παράλληλός ἐστιν.
なぜなら、［辺］AB, BG, GA, AD, DB, DGが点E, Z, H, Q, K, Lにおいて2等分されるものとせよ。 そして［線分］QE, EH, HQ, QK, KL, LQ, KZ, ZHが結ばれるものとせよ。 ［線分］AEが EBに等しく、AQがDQに等しいので、したがって、EQはDBに平行である。 まったく同じ理由により、QKもABに平行である。
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΕ ΒΚ·
したがって、QEBKは平行四辺形である。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΕΒ. ἀλλὰ ἡ ΕΒ τῇ ΕΑ ἐστιν ἴση·
ゆえに、QKはEBに等しい。 しかし、EBはEAに等しい。
καὶ ἡ ΑΕ ἄρα τῇ ΘΚ ἐστιν ἴση.
したがって、AEもQKに等しい。
ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΘ τῇ ΘΔ ἴση·
さらに、AQも QDに等しい。
δύο δὴ αἱ ΕΑ, ΑΘ δυσὶ ταῖς ΚΘ, ΘΔ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ·
それゆえ、2つの［線分］EA, AQは、2つの［線分］KQ, QDにそれぞれ等しい。
καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΑΘ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΘΔ ἴση·
そして、角EAQは角KQDに等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΕΘ βάσει τῇ ΚΔ ἐστιν ἴση.
したがって、底辺EQは底辺KDに等しい。
ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΑΕΘ τρίγωνον τῷ ΘΚΔ τριγώνῳ.
ゆえに、三角形AEQは三角形QKDに等しくかつ相似である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΘΗ τρίγωνον τῷ ΘΛΔ τριγώνῳ ἴσον τέ ἐστι καὶ ὅμοιον.
まったく同じ理由により、三角形AQHも三角形QLD に対し等しくかつ相似である。
καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΕΘ, ΘΗ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΚΔ, ΔΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ οὖσαι, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.
そして、互いに交わる2本の直線EQ, QHが、互いに交わりかつ同一平面上にない2本の直線KD, DLに平行であるから、それらは等しい角を挟むであろう。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΔΛ γωνίᾳ.
したがって、角EQHは角KDLに等しい。
καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΕΘ, ΘΗ δυσὶ ταῖς ΚΔ, ΔΛ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΕΘΗ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΚΔΛ ἐστιν ἴση, βάσις ἄρα ἡ ΕΗ βάσει τῇ ΚΛ ἴση·
そして、2本の直線EQ, QHが 2本の直線KD, DLにそれぞれ等しく、かつ角EQHが角KDLに等しいので、したがって、底辺EHは底辺KLに等しい。
ἴσον ἄρα καὶ ὅμοιόν ἐστι τὸ ΕΘΗ τρίγωνον τῷ ΚΔΛ τριγώνῳ.
ゆえに、三角形EQHは三角形KDLに等しくかつ相似である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΑΕΗ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ ἴσον τε καὶ ὅμοιόν ἐστιν.
まったく同じ理由により、三角形AEHも三角形QKLに対し等しくかつ相似である。
ἡ ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση καὶ ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
したがって、底面が三角形AEHで頂点が点Qである錐体は、底面が三角形QKLで頂点が点Dである錐体に等しくかつ相似である。
καὶ ἐπεὶ τριγώνου τοῦ ΑΔΒ παρὰ μίαν τῶν πλευρῶν τὴν ΑΒ ἦκται ἡ ΘΚ, ἰσογώνιόν ἐστι τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ, καὶ τὰς πλευρὰς ἀνάλογον ἔχουσιν·
そして、三角形ADBの一方の辺ABに平行にQKが引かれているので、三角形ADBは三角形DQKと等角であり、かつ［対応する］辺を比例関係に持つ。
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΔΒ τρίγωνον τῷ ΔΘΚ τριγώνῳ.
したがって、三角形ADBは三角形DQKに相似である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΔΒΓ τρίγωνον τῷ ΔΚΛ τριγώνῳ ὅμοιόν ἐστιν, τὸ δὲ ΑΔΓ τῷ ΔΛΘ. καὶ ἐπεὶ δύο εὐθεῖαι ἁπτόμεναι ἀλλήλων αἱ ΒΑ, ΑΓ παρὰ δύο εὐθείας ἁπτομένας ἀλλήλων τὰς ΚΘ, ΘΛ εἰσιν οὐκ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, ἴσας γωνίας περιέξουσιν.
まったく同じ理由により、三角形DBGは三角形DKLに相似であり、三角形ADGは三角形DLQに［相似である］。 そして、互いに交わる2本の直線BA, AGが、互いに交わりかつ同一平面上にない2本の直線KQ, QLに平行であるから、それらは等しい角を挟むであろう。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΑΓ γωνία τῇ ὑπὸ ΚΘΛ.
したがって、角BAGは角KQLに等しい。