§12.prop.3#2καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΓ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ·
그리고 BA와 AG의 비는 QK와 QL의 비와 같다.
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΘΚΛ τριγώνῳ.
그러므로 삼각형 ABG는 삼각형 QKL과 닮았다.
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
따라서 또한 밑면이 삼각형 ABG이고 꼭짓점이 점 D인 각뿔은 밑면이 삼각형 QKL이고 꼭짓점이 점 D인 각뿔과 닮았다.
ἀλλὰ πυραμίς, ἧς βάσις μὲν τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, ὁμοία ἐδείχθη πυραμίδι, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον.
그런데 밑면이 삼각형 QKL이고 꼭짓점이 점 D인 각뿔은 밑면이 삼각형 AEH이고 꼭짓점이 점 Q인 각뿔과 닮았음이 증명되었다.
ἑκατέρα ἄρα τῶν ΑΕΗΘ, ΘΚΛΔ πυραμίδων ὁμοία ἐστὶ τῇ ὅλῃ τῇ ΑΒΓΔ πυραμίδι.
그러므로 두 각뿔 AEHQ, QKLD 각각은 전체 각뿔 ABGD와 닮았다.
¯Καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΖ τῇ ΖΓ, διπλάσιόν ἐστι τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον τοῦ ΗΖΓ τριγώνου.
그리고 BZ가 ZG와 같으므로, 평행사변형 EBZH는 삼각형 HZG의 두 배이다.
καὶ ἐπεί, ἐὰν ᾖ δύο πρίσματα ἰσοϋψῆ, καὶ τὸ μὲν ἔχῃ βάσιν παραλληλόγραμμον, τὸ δὲ τρίγωνον, διπλάσιον δὲ ᾖ τὸ παραλληλόγραμμον τοῦ τριγώνου, ἴσα ἐστὶ τὰ πρίσματα, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ πρίσμα τὸ περιεχόμενον ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΒΚΖ, ΕΘΗ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΕΒΖΗ, ΕΒΚΘ, ΘΚΖΗ τῷ πρίσματι τῷ περιεχομένῳ ὑπὸ δύο μὲν τριγώνων τῶν ΗΖΓ, ΘΚΛ, τριῶν δὲ παραλληλογράμμων τῶν ΚΖΓΛ, ΛΓΗΘ, ΘΚΖΗ. καὶ φανερόν, ὅτι ἑκάτερον τῶν πρισμάτων, οὗ τε βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, καὶ οὗ βάσις τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, μεῖζόν ἐστιν ἑκατέρας τῶν πυραμίδων, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα, ἐπειδήπερ ἐὰν ἐπιζεύξωμεν τὰς ΕΖ, ΕΚ εὐθείας, τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι τῆς πυραμίδος, ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον.
그리고 만일 높이가 같은 두 각기둥이 있고, 하나는 평행사변형을 밑면으로 하고 다른 하나는 삼각형을 밑면으로 하며, 평행사변형이 삼각형의 두 배라면, 그 각기둥들은 서로 같으므로, 따라서 두 삼각형 BKZ, EQH와 세 평행사변형 EBZH, EBKQ, QKZH로 둘러싸인 각기둥은 두 삼각형 HZG, QKL과 세 평행사변형 KZGL, LGHQ, QKZH로 둘러싸인 각기둥과 같다. 그리고 밑면이 평행사변형 EBZH이고 그것과 마주보는 직선이 QK인 각기둥과, 밑면이 삼각형 HZG이고 그것과 마주보는 삼각형이 QKL인 각기둥 각각은, 밑면이 삼각형 AEH, QKL이고 꼭짓점이 점 Q, D인 두 각뿔 각각보다 더 크다는 것이 명백하다. 왜냐하면 만일 직선 EZ, EK를 연결한다면, 밑면이 평행사변형 EBZH이고 그것과 마주보는 직선이 QK인 각기둥은 밑면이 삼각형 EBZ이고 꼭짓점이 점 K인 각뿔보다 더 크기 때문이다.
ἀλλʼ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΕΒΖ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Κ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον·
그런데 밑면이 삼각형 EBZ이고 꼭짓점이 점 K인 각뿔은 밑면이 삼각형 AEH이고 꼭짓점이 점 Q인 각뿔과 같다.
ὑπὸ γὰρ ἴσων καὶ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται.
왜냐하면 그것들은 서로 같고 닮은 평면들로 둘러싸여 있기 때문이다.
ὥστε καὶ τὸ πρίσμα, οὗ βάσις μὲν τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, μεῖζόν ἐστι πυραμίδος, ἧς βάσις μὲν τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον.
따라서 밑면이 평행사변형 EBZH이고 그것과 마주보는 직선이 QK인 각기둥 또한 밑면이 삼각형 AEH이고 꼭짓점이 점 Q인 각뿔보다 더 크다.
ἴσον δὲ τὸ μὲν πρίσμα, οὗ βάσις τὸ ΕΒΖΗ παραλληλόγραμμον, ἀπεναντίον δὲ ἡ ΘΚ εὐθεῖα, τῷ πρίσματι, οὗ βάσις μὲν τὸ ΗΖΓ τρίγωνον, ἀπεναντίον δὲ τὸ ΘΚΛ τρίγωνον· ἡ δὲ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΕΗ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Θ σημεῖον, ἴση ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις τὸ ΘΚΛ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον.
그리고 밑면이 평행사변형 EBZH이고 그것과 마주보는 직선이 QK인 각기둥은 밑면이 삼각형 HZG이고 그것과 마주보는 삼각형이 QKL인 각기둥과 같으며, 밑면이 삼각형 AEH이고 꼭짓점이 점 Q인 각뿔은 밑면이 삼각형 QKL이고 꼭짓점이 점 D인 각뿔과 같다.
τὰ ἄρα εἰρημένα δύο πρίσματα μείζονά ἐστι τῶν εἰρημένων δύο πυραμίδων, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΑΕΗ, ΘΚΛ τρίγωνα, κορυφαὶ δὲ τὰ Θ, Δ σημεῖα.
그러므로 위에서 언급한 두 각기둥은 밑면이 삼각형 AEH, QKL이고 꼭짓점이 점 Q, D인, 위에서 언급한 두 각뿔보다 더 크다.
ἡ ἄρα ὅλη πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Δ σημεῖον, διῄρηται εἴς τε δύο πυραμίδας ἴσας ἀλλήλαις καὶ εἰς δύο πρίσματα ἴσα, καὶ τὰ δύο πρίσματα μείζονά ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τῆς ὅλης πυραμίδος·
그러므로 밑면이 삼각형 ABG이고 꼭짓점이 점 D인 전체 각뿔은 서로 같은 두 각뿔과 두 개의 같은 각기둥으로 분할되었고, 이 두 각기둥은 전체 각뿔의 절반보다 더 크다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여주려고 했던 바이다.