§12.prop.18αἱ σφαῖραι πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ἰδίων διαμέτρων.
구들은 서로에 대하여 각각의 지름들의 3배비(3제곱비)에 있다.
Νενοήσθωσαν σφαῖραι αἱ ΑΒΓ, ΔΕΖ, διάμετροι δὲ αὐτῶν αἱ ΒΓ, ΕΖ·
구 ABG, DEZ가 생각되고, 그것들의 지름은 BG, EZ라 하자.
λέγω, ὅτι ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
εἰ γὰρ μὴ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ, ἕξει ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἢ πρὸς μείζονα ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐχέτω πρότερον πρὸς ἐλάσσονα τὴν ΗΘΚ, καὶ νενοήσθω ἡ ΔΕΖ τῇ ΗΘΚ περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον, καὶ ἐγγεγράφθω εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν τὴν ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας τῆς ΗΘΚ κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐγγεγράφθω δὲ καὶ εἰς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον·
나는 구 ABG가 구 DEZ에 대하여, BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3배비를 가진다고 주장한다. 왜냐하면 만약 구 ABG가 구 DEZ에 대하여, BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3배비를 가지지 않는다면, 구 ABG는 구 DEZ보다 작은 어떤 구에 대하여, 혹은 더 큰 어떤 구에 대하여 BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3배비를 가질 것이기 때문이다. 먼저 더 작은 구 HThK에 대하여 [그 비를] 가진다고 하자. 그리고 DEZ가 HThK와 같은 중심 주위에 있다고 생각되고, 더 큰 구 DEZ에 표면에서 더 작은 구 HThK와 만나지 않는 입체 다면체가 내접되게 하라. 그리고 구 ABG 안에도 구 DEZ 안의 입체 다면체와 닮은 입체 다면체가 내접되게 하라.
τὸ ἄρα ἐν τῇ ΑΒΓ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἔχει δὲ καὶ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ·
그러므로 구 ABG 안의 입체 다면체는 구 DEZ 안의 입체 다면체에 대하여, BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3배비를 가진다. 그런데 구 ABG도 구 HThK에 대하여 BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3배비를 가진다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΗΘΚ σφαῖραν, οὕτως τὸ ἐν τῇ ΑΒΓ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον·
그러므로 구 ABG가 구 HThK에 대함과 같이, 그렇게 구 ABG 안의 입체 다면체는 구 DEZ 안의 입체 다면체에 대한다.
ἐναλλὰξ ὡς ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν αὐτῇ πολύεδρον, οὕτως ἡ ΗΘΚ σφαῖρα πρὸς τὸ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον.
교대비(교항 비율)에 의해, 구 ABG가 그 안의 다면체에 대함과 같이, 그렇게 구 HThK는 구 DEZ 안의 입체 다면체에 대한다.
μείζων δὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα τοῦ ἐν αὐτῇ πολυέδρου·
그런데 구 ABG는 그 안의 다면체보다 크다.
μείζων ἄρα καὶ ἡ ΗΘΚ σφαῖρα τοῦ ἐν τῇ ΔΕΖ σφαίρᾳ πολυέδρου.
그러므로 구 HThK도 구 DEZ 안의 입체 다면체보다 크다.
ἀλλὰ καὶ ἐλάττων·
하지만 [그것은] 더 작기도 하다.
ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ.
왜냐하면 그것에 의해 내포되어 있기 때문이다.
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ διάμετρος πρὸς τὴν ΕΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι οὐδὲ ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ.
λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ.
εἰ γὰρ δυνατόν, ἐχέτω πρὸς μείζονα τὴν ΛΜΝ·
그러므로 구 ABG는 구 DEZ보다 작은 구에 대하여 지름 BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3배비를 가지지 않는다. 마찬가지로 구 DEZ도 구 ABG보다 작은 구에 대하여 EZ가 BG에 대하여 가지는 비의 3배비를 가지지 않음을 우리는 보일 것이다. 이제 나는 구 ABG가 구 DEZ보다 큰 어떤 구에 대하여도 BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3배비를 가지지 않는다고 주장한다. 왜냐하면 만약 가능하다면, 더 큰 구 LMN에 대하여 [그 비를] 가진다고 하자.
ἀνάπαλιν ἄρα ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ διάμετρος πρὸς τὴν ΒΓ διάμετρον.
그러므로 역비에 의해 구 LMN은 구 ABG에 대하여 지름 EZ가 지름 BG에 대하여 가지는 비의 3배비를 가진다.
ὡς δὲ ἡ ΛΜΝ σφαῖρα πρὸς τὴν ΑΒΓ σφαῖραν, οὕτως ἡ ΔΕΖ σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας, ἐπειδήπερ μείζων ἐστὶν ἡ ΛΜΝ τῆς ΔΕΖ, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείχθη.
그런데 구 LMN이 구 ABG에 대함과 같이, 그렇게 구 DEZ는 구 ABG보다 작은 어떤 구에 대한다. 왜냐하면 앞서 증명되었듯이 LMN이 DEZ보다 크기 때문이다.
καὶ ἡ ΔΕΖ ἄρα σφαῖρα πρὸς ἐλάσσονά τινα τῆς ΑΒΓ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΒΓ·
그러므로 구 DEZ도 구 ABG보다 작은 어떤 구에 대하여 EZ가 BG에 대하여 가지는 비의 3배비를 가진다.
ὅπερ ἀδύνατον ἐδείχθη.
그런데 이것은 불가능하다고 증명되었다.
οὐκ ἄρα ἡ ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς μείζονά τινα τῆς ΔΕΖ σφαίρας τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ. ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ πρὸς ἐλάσσονα.
그러므로 구 ABG는 구 DEZ보다 큰 어떤 구에 대하여 BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3배비를 가지지 않는다. 또한 더 작은 구에 대하여도 가지지 않음이 증명되었다.
ἡ ἄρα ΑΒΓ σφαῖρα πρὸς τὴν ΔΕΖ σφαῖραν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ΕΖ·
그러므로 구 ABG는 구 DEZ에 대하여 BG가 EZ에 대하여 가지는 비의 3배비를 가진다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명해야 할 일이었다.