§12.prop.17#3καὶ ἐπεὶ μείζων ἐστὶν ἡ ΚΒ τῆς ΧΦ, ἴση δὲ ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, μείζων ἄρα ἡ ΚΒ τῆς ΣΟ. ἴση δὲ ἡ ΚΒ ἑκατέρᾳ τῶν ΚΣ, ΒΟ·
そして、KBがChPhよりも大きく、ChPhはSOに等しいので、したがってKBはSOよりも大きい。 また、KBはKS, BOのそれぞれに等しい。
καὶ ἑκατέρα ἄρα τῶν ΚΣ, ΒΟ τῆς ΣΟ μείζων ἐστίν.
したがって、KS, BOのそれぞれもSOより大きい。
καὶ ἐπεὶ ἐν κύκλῳ τετράπλευρόν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ, καὶ ἴσαι αἱ ΚΒ, ΒΟ, ΚΣ, καὶ ἐλάττων ἡ ΟΣ, καὶ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἡ ΒΨ, τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον.
そして、四角形KBOSは円に内接しており、KB, BO, KSは等しく、OSはそれらより小さく、そしてBPsは円の半径であるので、したがって、KBの上の正方形はBPsの上の正方形の2倍よりも大きい。
ἤχθω ἀπὸ τοῦ Κ ἐπὶ τὴν ΒΦ κάθετος ἡ ΚΩ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΒΔ τῆς ΔΩ ἐλάττων ἐστὶν ἢ διπλῆ, καί ἐστιν ὡς ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΔΩ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΔΒ, ΒΩ πρὸς τὸ ὑπὸ ΔΩ, ΩΒ, ἀναγραφομένου ἀπὸ τῆς ΒΩ τετραγώνου καὶ συμπληρουμένου τοῦ ἐπὶ τῆς ΩΔ παραλληλογράμμου καὶ τὸ ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἄρα τοῦ ὑπὸ ΔΩ, ΩΒ ἔλαττόν ἐστιν ἢ διπλάσιον.
点KからBPhへ垂線KOmegaが引かれよ。 そして、BDはDOmegaの2倍より小さく、また、BDがDOmegaに対する比は、DB, BOmegaによって囲まれる長方形がDOmega, OmegaBによって囲まれる長方形に対する比と同じであり、これはBOmegaの上の正方形が描かれ、OmegaDの上の平行四辺形が補われることによる。 したがって、DB, BOmegaによって囲まれる長方形も、DOmega, OmegaBによって囲まれる長方形の 2倍より小さい。
καί ἐστι τῆς ΚΔ ἐπιζευγνυμένης τὸ μὲν ὑπὸ ΔΒ, ΒΩ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΒΚ, τὸ δὲ ὑπὸ τῶν ΔΩ, ΩΒ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ΚΩ·
そして、KDが結ばれるとき、DB, BOmegaによって囲まれる長方形はBKの上の正方形に等しく、DOmega, OmegaBによって囲まれる長方形はKOmegaの上の正方形に等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΚΩ ἔλασσόν ἐστιν ἢ διπλάσιον.
したがって、KBの上の正方形は、KOmegaの上の正方形の2倍より小さい。
ἀλλὰ τὸ ἀπὸ τῆς ΚΒ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ μεῖζόν ἐστιν ἢ διπλάσιον·
しかし、KBの上の正方形はBPsの上の正方形の2倍より大きい。
μεῖζον ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΑ τῇ ΚΑ, ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΒΑ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΒΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ·
したがって、 KOmegaの上の正方形はBPsの上の正方形よりも大きい。 そして、BAはKAに等しいので、BAの上の正方形はAKの上の正方形に等しい。 そして、BAの上の正方形にはBPs, PsAの上の正方形［の和］が等しく、KAの上の正方形にはKOmega, OmegaAの上の正方形［の和］が等しい。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΒΨ, ΨΑ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΚΩ, ΩΑ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΚΩ μεῖζον τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΨ·
したがって、BPs, PsAの上の正方形［の和］は、KOmega, OmegaAの上の正方形［の和］に等しく、それらのうちで、KOmegaの上の正方形はBPsの上の正方形よりも大きい。
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΩΑ ἔλασσόν ἐστι τοῦ ἀπὸ τῆς ΨΑ. μείζων ἄρα ἡ ΑΨ τῆς ΑΩ·
したがって、残りのOmegaAの上の正方形は、PsAの上の正方形よりも小さい。 したがって、APsはAOmegaよりも大きい。
πολλῷ ἄρα ἡ ΑΨ μείζων ἐστὶ τῆς ΑΗ. καί ἐστιν ἡ μὲν ΑΨ ἐπὶ μίαν τοῦ πολυέδρου βάσιν, ἡ δὲ ΑΗ ἐπὶ τὴν τῆς ἐλάσσονος σφαίρας ἐπιφάνειαν·
したがって、なおさら、APsはAHよりも大きい。 そして、APsは多面体の一つの底面に対する垂線であり、AHはより小さい球の表面に対する半径である。
ὥστε τὸ πολύεδρον οὐ ψαύσει τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.
したがって、多面体は、その表面において、より小さい球に接触しないであろう。
δύο ἄρα σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγέγραπται μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν·
したがって、同じ中心をもつ二つの球があるとき、より大きい球に、その表面においてより小さい球に接触しない立体多面体が内接された。
ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
これが作図すべきことであった。
Πόρισμα
ἐὰν δὲ καὶ εἰς ἑτέραν σφαῖραν τῷ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεῷ πολυέδρῳ ὅμοιον στερεὸν πολύεδρον ἐγγραφῇ, τὸ ἐν τῇ ΒΓΔΕ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ τῆς ΒΓΔΕ σφαίρας διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας διάμετρον.
系もしまた、別の球の中に、球BGDEにおける立体多面体に相似な立体多面体が内接されるならば、球BGDEにおける立体多面体は、もう一つの球における立体多面体に対して、球BGDEの直径がもう一つの球の直径に対する比の3乗の比をもつ。
διαιρεθέντων γὰρ τῶν στερεῶν εἰς τὰς ὁμοιοπληθεῖς καὶ ὁμοιοταγεῖς πυραμίδας ἔσονται αἱ πυραμίδες ὅμοιαι.
なぜなら、それらの立体が、同数でかつ同列の角錐たちに分割されるとき、それらの角錐は相似になるからである。
αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες πρὸς ἀλλήλας ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν·
そして、相似な角錐たちは、互いに対して、対応する辺の3乗の比にある。
ἡ ἄρα πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον, πρὸς τὴν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ ὁμοιοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΑΒ ἐκ τοῦ κέντρου τῆς σφαίρας τῆς περὶ κέντρον τὸ Α πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας.
したがって、四角形KBOSを底面とし、点Aを頂点とする角錐は、他方の球における同列の角錐に対して、対応する辺が対応する辺に対する比の3乗の比をもつ。 すなわち、中心をAとする球の半径ABが、他方の球の半径に対する比の3乗の比である。
ὁμοίως καὶ ἑκάστη πυραμὶς τῶν ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τῶν ἐν τῇ ἑτέρᾳ σφαίρᾳ τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας.
同様に、中心をAとする球における各角錐も、他方の球におけるそれぞれの同列の角錐に対して、ABが他方の球の半径に対する比の3乗の比をもつであろう。
καὶ ὡς ἓν τῶν ἡγουμένων πρὸς ἓν τῶν ἑπομένων, οὕτως ἅπαντα τὰ ἡγούμενα πρὸς ἅπαντα τὰ ἑπόμενα·
そして、前件の一つが後件の一つに対するように、そのように、すべての前件の和がすべての後件の和に対してもそうである。
ὥστε ὅλον τὸ ἐν τῇ περὶ κέντρον τὸ Α σφαίρᾳ στερεὸν πολύεδρον πρὸς ὅλον τὸ ἐν τῇ ἑτέρᾳ στερεὸν πολύεδρον τριπλασίονα λόγον ἕξει, ἤπερ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ἐκ τοῦ κέντρου τῆς ἑτέρας σφαίρας, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ διάμετρος πρὸς τὴν τῆς ἑτέρας σφαίρας διάμετρον·
したがって、中心をAとする球における立体多面体全体は、他方の球における立体多面体全体に対して、 ABが他方の球の半径に対する比の3乗の比をもつ。 すなわち、直径BDが他方の球の直径に対する比の3乗の比である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが証明すべきことであった。