§12.prop.17#2καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΟΦ, ΣΧ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΦ τῇ ΣΧ. ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση·
そして、OPh, SChのそれぞれが円BGDE의 平面に対して垂直であるので、したがってOPhはSChに平行である。 また、それ［OPh］はこれ［SCh］に等しいことも示された。
καὶ αἱ ΧΦ, ΣΟ ἄρα ἴσαι εἰσὶ καὶ παράλληλοι.
したがって、ChPh, SOもまた等しくて平行である。
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, ἀλλὰ ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος, καὶ ἡ ΣΟ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος.
そして、ChPhがSOに平行であり、他方でChPhがKBに平行であるので、したがってSOもまたKBに平行である。
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΒΟ, ΚΣ·
そして、BO, KSがそれらを結んでいる。
τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ, ἐπειδήπερ, ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, καὶ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν ληφθῇ τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
したがって、四角形KBOSは一つの平面上にある。 なぜなら、もし二つの直線が平行であり、それらのそれぞれの上に任意の点が取られるならば、それらの点を結ぶ直線は、その平行な直線たちと同じ平面上にあるからである。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετραπλεύρων ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
したがって、同じ理由によって、四角形SOPT, TPRYのそれぞれもまた一つの平面上にある。
ἔστι δὲ καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ.
また、三角形YRXも一つの平面上にある。
ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἀπὸ τῶν Ο, Σ, Π, Τ, Ρ, Υ σημείων ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένας εὐθείας, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν πολύεδρον μεταξὺ τῶν ΒΞ, ΚΞ περιφερειῶν ἐκ πυραμίδων συγκείμενον, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον.
そこで、もし我々が、点O, S, P, T, R, YからAに結ばれた直線たちを思い描くならば、円弧BX, KXの間に、角錐から構成される、ある立体多面体［の一部］が組み立てられるであろう。 それらの底面は四角形KBOS, SOPT, TPRYおよび三角形YRXであり、頂点は点Aである。
ἐὰν δὲ καὶ ἐπὶ ἑκάστης τῶν ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ πλευρῶν καθάπερ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν καὶ ἔτι ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριῶν τεταρτημορίων, συσταθήσεταί τι σχῆμα πολύεδρον ἐγγεγραμμένον εἰς τὴν σφαῖραν πυραμίσι περιεχόμενον, ὧν βάσεις τὰ εἰρημένα τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον καὶ τὰ ὁμοταγῆ αὐτοῖς, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον.
そして、もしまた、辺KL, LM, MEのそれぞれの上にも、BKの上におけるのと同様に同じものを構成し、さらに残りの三つの四分円の上にも構成するならば、球に内接し、角錐によって囲まれたある多面体が組み立てられるであろう。 それらの底面は、上述の四角形群と三角形YRX、およびそれらと同列のものであり、頂点は点Aである。
λέγω, ὅτι τὸ εἰρημένον πολύεδρον οὐκ ἐφάψεται τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐφʼ ἧς ἐστιν ὁ ΖΗΘ κύκλος.
私は主張する、上述の多面体は、円ZHThがあるところの、小さい方の球の表面に接触しないであろうと。
ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΨ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ψ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΒ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΨ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ τετραπλεύρου ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν.
点Aから四角形KBOSの平面に垂線APsが引かれ、それがその平面と点Psにおいて交わるとせよ。 そして、PsB, PsKが結ばれよ。 そして、APsは四角形KBOSの平面に垂直であるので、したがって、それに接し、かつその四角形の平面上にあるすべての直線に対しても垂直である。
ἡ ΑΨ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΨ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ψ·
したがって、APsはBPs, PsKのそれぞれに垂直である。 そして、ABはAKに等しいので、ABの上の正方形も AKの上の正方形に等しい。 そして、ABの上の正方形には、APs, PsBの上の正方形［の和］が等しい（なぜなら、Psにおける角は直角だからである）。
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ·
他方、AKの上の正方形には、APs, PsKの上の正方形［の和］が等しい。 したがって、APs, PsBの上の正方形［の和］は、APs, PsKの上の正方形［の和］に等しい。 共通なAPsの上の正方形が引かれよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΨ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΨΚ ἴσον ἐστίν·
したがって、残りのBPsの上の正方形は、残りのPsKの上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ψ ἐπὶ τὰ Ο, Σ ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΒΨ, ΨΚ. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ψ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΨΒ, ΨΚ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ο, Σ, καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον.
したがって、BPsはPsKに等しい。 同様にして、PsからO, Sへと結ばれる直線たちも、BPs, PsKのそれぞれに等しいことを示すであろう。 したがって、中心をPsとし、 PsB, PsKの一つの距離で描かれる円は、O, Sをも通るであろう。 And, 四角形KBOSは円に内接することになるであろう。