§12.prop.17#1δύο σφαιρῶν περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον οὐσῶν εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.
同じ中心の周りにある二つの球があるとき、大きい方の球に、小さい方の球の表面に触れない立体多面体を内接させること。
Νενοήσθωσαν δύο σφαῖραι περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον τὸ Α·
想定せよ、同じ中心 Aの周りに二つの球がある。
δεῖ δὴ εἰς τὴν μείζονα σφαῖραν στερεὸν πολύεδρον ἐγγράψαι μὴ ψαῦον τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν.
そこで、大きい方の球に、小さい方の球の表面に触れない立体多面体を内接させねばならない。
τετμήσθωσαν αἱ σφαῖραι ἐπιπέδῳ τινὶ διὰ τοῦ κέντρου·
球を中心を通るある平面で切るとせよ。
ἔσονται δὴ αἱ τομαὶ κύκλοι, ἐπειδήπερ μενούσης τῆς διαμέτρου καὶ περιφερομένου τοῦ ἡμικυκλίου ἐγίγνετο ἡ σφαῖρα·
切り口は円となるであろう。 なぜなら、直径が静止し、半円が回転することによって球が生じたからである。
ὥστε καὶ καθʼ οἵας ἂν θέσεως ἐπινοήσωμεν τὸ ἡμικύκλιον, τὸ διʼ αὐτοῦ ἐκβαλλόμενον ἐπίπεδον ποιήσει ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας κύκλον.
したがって、半円をどのような位置にあると想定しても、それを通って延長される平面は、球の表面の上に円を作るであろう。
καὶ φανερόν, ὅτι καὶ μέγιστον, ἐπειδήπερ ἡ διάμετρος τῆς σφαίρας, ἥτις ἐστὶ καὶ τοῦ ἡμικυκλίου διάμετρος δηλαδὴ καὶ τοῦ κύκλου, μείζων ἐστὶ πασῶν τῶν εἰς τὸν κύκλον ἢ τὴν σφαῖραν διαγομένων.
そして、それが最大［の円］であることも明らかである。 なぜなら、球の直径は（それはすなわち半円の直径であり、したがってまた円の直径でもあるが）、円または球の中に引かれるすべての［直線］よりも大きいからである。
ἔστω οὖν ἐν μὲν τῇ μείζονι σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΒΓΔΕ, ἐν δὲ τῇ ἐλάσσονι σφαίρᾳ κύκλος ὁ ΖΗΘ, καὶ ἤχθωσαν αὐτῶν δύο διάμετροι πρὸς ὀρθὰς ἀλλήλαις αἱ ΒΔ, ΓΕ, καὶ δύο κύκλων περὶ τὸ αὐτὸ κέντρον ὄντων τῶν ΒΓΔΕ, ΖΗΘ εἰς τὸν μείζονα κύκλον τὸν ΒΓΔΕ πολύγωνον ἰσόπλευρον καὶ ἀρτιόπλευρον ἐγγεγράφθω μὴ ψαῦον τοῦ ἐλάσσονος κύκλου τοῦ ΖΗΘ, οὗ πλευραὶ ἔστωσαν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ αἱ ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΚΑ διήχθω ἐπὶ τὸ Ν, καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ Α σημείου τῷ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπιπέδῳ πρὸς ὀρθὰς ἡ ΑΞ καὶ συμβαλλέτω τῇ ἐπιφανείᾳ τῆς σφαίρας κατὰ τὸ Ξ, καὶ διὰ τῆς ΑΞ καὶ ἑκατέρας τῶν ΒΔ, ΚΝ ἐπίπεδα ἐκβεβλήσθω·
そこで、大きい方の球の中の円をBGDEとし、小さい方の球の中の円をZHThとし、それらの二つの直径が互いに直角に BD, GEと引かれよ。 そして、同じ中心の周りにある二つの円BGDE, ZHThについて、大きい方の円BGDEに、小さい方の円ZHThに触れない等辺かつ偶数辺の多角形が内接されたとせよ。 そのBE四分円における辺をBK, KL, LM, MEとせよ。 そして、結ばれた KAがNへと延長され、点Aから円BGDEの平面に直角にAXが立てられ、それが球の表面とXにおいて交わるとせよ。 そして、AXとBD, KNのそれぞれを通る平面が延長されよ。
ποιήσουσι δὴ διὰ τὰ εἰρημένα ἐπὶ τῆς ἐπιφανείας τῆς σφαίρας μεγίστους κύκλους.
それらは、上述の理由によって、球の表面の上に大円を作るであろう。
ποιείτωσαν, ὧν ἡμικύκλια ἔστω ἐπὶ τῶν ΒΔ, ΚΝ διαμέτρων τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΞΑ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, καὶ πάντα ἄρα τὰ διὰ τῆς ΞΑ ἐπίπεδά ἐστιν ὀρθὰ πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον·
それらを作らせよ。 それらの半円を、BD, KN直径の上のBXD, KXNとせよ。 そして、XAは円BGDEの平面に垂直であるので、したがってXAを通るすべての平面もまた、円BGDEの平面に垂直である。
ὥστε καὶ τὰ ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον.
したがって、 BXD, KXN半円も円BGDEの平面に垂直である。
καὶ ἐπεὶ ἴσα ἐστὶ τὰ ΒΕΔ, ΒΞΔ, ΚΞΝ ἡμικύκλια· ἐπὶ γὰρ ἴσων εἰσὶ διαμέτρων τῶν ΒΔ, ΚΝ·
そして、BED, BXD, KXN半円は等しい（なぜならそれらは等しい直径BD, KNの上にあるから）。
ἴσα ἐστὶ καὶ τὰ ΒΕ, ΒΞ, ΚΞ τεταρτημόρια ἀλλήλοις.
したがって、四分円BE, BX, KXも互いに等しい。
ὅσαι ἄρα εἰσὶν ἐν τῷ ΒΕ τεταρτημορίῳ πλευραὶ τοῦ πολυγώνου, τοσαῦταί εἰσι καὶ ἐν τοῖς ΒΞ, ΚΞ τεταρτημορίοις ἴσαι ταῖς ΒΚ, ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ εὐθείαις.
したがって、BE四分円の中にある多角形の辺の数だけ、BX, KX四分円の中にも、直線BK, KL, LM, MEに等しい［直線］がある。
ἐγγεγράφθωσαν καὶ ἔστωσαν αἱ ΒΟ, ΟΠ, ΠΡ, ΡΞ, ΚΣ, ΣΤ, ΤΥ, ΥΞ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΣΟ, ΤΠ, ΥΡ, καὶ ἀπὸ τῶν Ο, Σ ἐπὶ τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον κάθετοι ἤχθωσαν·
それらが内接されたとし、それをBO, OP, PR, RX, KS, ST, TY, YXとし、SO, TP, YRが結ばれよ。 そして、O, Sから円BGDEの平面に垂線が引かれよ。
πεσοῦνται δὴ ἐπὶ τὰς κοινὰς τομὰς τῶν ἐπιπέδων τὰς ΒΔ, ΚΝ, ἐπειδήπερ καὶ τὰ τῶν ΒΞΔ, ΚΞΝ ἐπίπεδα ὀρθά ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον.
それらは平面の交線BD, KNの上に落ちるであろう。 なぜなら、BXD, KXNの平面もまた、円BGDEの平面に垂直であるからである。
πιπτέτωσαν, καὶ ἔστωσαν αἱ ΟΦ, ΣΧ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΧΦ. καὶ ἐπεὶ ἐν ἴσοις ἡμικυκλίοις τοῖς ΒΞΔ, ΚΞΝ ἴσαι ἀπειλημμέναι εἰσὶν αἱ ΒΟ, ΚΣ, καὶ κάθετοι ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΟΦ, ΣΧ, ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΟΦ τῇ ΣΧ, ἡ δὲ ΒΦ τῇ ΚΧ. ἔστι δὲ καὶ ὅλη ἡ ΒΑ ὅλῃ τῇ ΚΑ ἴση·
それらが落ちるとし、それをOPh, SChとし、ChPhが結ばれよ。 そして、等しい半円BXD, KXNにおいて、等しい［弦］BO, KSが切り取られ、かつ垂線OPh, SChが引かれているので、OPhはSChに等しく、BPhはKChに等しい。 そして、全体のBAも全体のKAに等しい。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΦΑ λοιπῇ τῇ ΧΑ ἐστιν ἴση·
したがって、残りのPhAも残りのChAに等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΒΦ πρὸς τὴν ΦΑ, οὕτως ἡ ΚΧ πρὸς τὴν ΧΑ·
したがって、BPhがPhAに対するように、KChはChAに対する。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ.
したがって、 ChPhはKBに平行である。