§12.prop.17#2καὶ ἐπεὶ ἑκατέρα τῶν ΟΦ, ΣΧ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΒΓΔΕ κύκλου ἐπίπεδον, παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΟΦ τῇ ΣΧ. ἐδείχθη δὲ αὐτῇ καὶ ἴση·
그리고 OPh, SCh 각각이 원 BGDE의 평면에 수직이므로, 따라서 OPh는 SCh에 평행하다. 또한 그것은 그것과 같다는 것도 증명되었다.
καὶ αἱ ΧΦ, ΣΟ ἄρα ἴσαι εἰσὶ καὶ παράλληλοι.
그러므로 ChPh, SO도 같고 평행하다.
καὶ ἐπεὶ παράλληλός ἐστιν ἡ ΧΦ τῇ ΣΟ, ἀλλὰ ἡ ΧΦ τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος, καὶ ἡ ΣΟ ἄρα τῇ ΚΒ ἐστι παράλληλος.
그리고 ChPh가 SO에 평행하고, 다른 한편 ChPh가 KB에 평행하므로, 따라서 SO도 KB에 평행하다.
καὶ ἐπιζευγνύουσιν αὐτὰς αἱ ΒΟ, ΚΣ·
그리고 BO, KS가 그것들을 잇고 있다.
τὸ ΚΒΟΣ ἄρα τετράπλευρον ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ, ἐπειδήπερ, ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι παράλληλοι, καὶ ἐφʼ ἑκατέρας αὐτῶν ληφθῇ τυχόντα σημεῖα, ἡ ἐπὶ τὰ σημεῖα ἐπιζευγνυμένη εὐθεῖα ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ ἐστὶ ταῖς παραλλήλοις.
그러므로 사각형 KBOS는 한 평면 위에 있다. 왜냐하면, 만약 두 직선이 평행하고, 그것들 각각 위에 임의의 점들이 잡힌다면, 그 점들을 잇는 직선은 그 평행한 직선들과 같은 평면 위에 있기 때문이다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἑκάτερον τῶν ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετραπλεύρων ἐν ἑνί ἐστιν ἐπιπέδῳ.
그러므로 같은 이유들 때문에 사각형 SOPT, TPRY 각각도 한 평면 위에 있다.
ἔστι δὲ καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον ἐν ἑνὶ ἐπιπέδῳ.
그리고 삼각형 YRX도 한 평면 위에 있다.
ἐὰν δὴ νοήσωμεν ἀπὸ τῶν Ο, Σ, Π, Τ, Ρ, Υ σημείων ἐπὶ τὸ Α ἐπιζευγνυμένας εὐθείας, συσταθήσεταί τι σχῆμα στερεὸν πολύεδρον μεταξὺ τῶν ΒΞ, ΚΞ περιφερειῶν ἐκ πυραμίδων συγκείμενον, ὧν βάσεις μὲν τὰ ΚΒΟΣ, ΣΟΠΤ, ΤΠΡΥ τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον.
그러므로 만약 우리가 점 O, S, P, T, R, Y로부터 A로 이어지는 직선들을 생각한다면, 원호 BX, KX 사이에 각불들로 이루어진 어떤 입체 다면체［의 일부］가 구성될 것이다. 그것들의 밑면은 사각형 KBOS, SOPT, TPRY와 삼각형 YRX이고, 꼭짓점은 점 A이다.
ἐὰν δὲ καὶ ἐπὶ ἑκάστης τῶν ΚΛ, ΛΜ, ΜΕ πλευρῶν καθάπερ ἐπὶ τῆς ΒΚ τὰ αὐτὰ κατασκευάσωμεν καὶ ἔτι ἐπὶ τῶν λοιπῶν τριῶν τεταρτημορίων, συσταθήσεταί τι σχῆμα πολύεδρον ἐγγεγραμμένον εἰς τὴν σφαῖραν πυραμίσι περιεχόμενον, ὧν βάσεις τὰ εἰρημένα τετράπλευρα καὶ τὸ ΥΡΞ τρίγωνον καὶ τὰ ὁμοταγῆ αὐτοῖς, κορυφὴ δὲ τὸ Α σημεῖον.
그리고 만약 우리가 또한 변 KL, LM, ME 각각 위에도 BK 위에서와 마찬가지로 똑같이 만들고, 나아가 남은 세 사분면 위에도 그렇게 만든다면, 구에 내접하고 각불들로 둘러싸인 어떤 다면체가 구성될 것이다. 그것들의 밑면은 앞에서 말한 사각형들과 삼각형 YRX 및 그것들과 동열에 있는 것들이고, 꼭짓점은 점 A이다.
λέγω, ὅτι τὸ εἰρημένον πολύεδρον οὐκ ἐφάψεται τῆς ἐλάσσονος σφαίρας κατὰ τὴν ἐπιφάνειαν, ἐφʼ ἧς ἐστιν ὁ ΖΗΘ κύκλος.
나는 말한다, 앞서 말한 다면체는 원 ZHTh가 있는 작은 구의 표면과 만나지 않을 것이라고.
ἤχθω ἀπὸ τοῦ Α σημείου ἐπὶ τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον κάθετος ἡ ΑΨ καὶ συμβαλλέτω τῷ ἐπιπέδῳ κατὰ τὸ Ψ σημεῖον, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΨΒ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἡ ΑΨ ὀρθή ἐστι πρὸς τὸ τοῦ ΚΒΟΣ τετραπλεύρου ἐπίπεδον, καὶ πρὸς πάσας ἄρα τὰς ἁπτομένας αὐτῆς εὐθείας καὶ οὔσας ἐν τῷ τοῦ τετραπλεύρου ἐπιπέδῳ ὀρθή ἐστιν.
점 A로부터 사각형 KBOS의 평면에 수선 APs가 그어지게 하고, 그것이 그 평면과 점 Ps에서 만나게 하라. 그리고 PsB, PsK가 이어지게 하라. 그리고 APs가 사각형 KBOS의 평면에 수직이므로, 따라서 그것에 닿아 있고 사각형의 평면 위에 있는 모든 직선에 대해서도 수직이다.
ἡ ΑΨ ἄρα ὀρθή ἐστι πρὸς ἑκατέραν τῶν ΒΨ, ΨΚ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΒ τῇ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τῷ ἀπὸ τῆς ΑΚ. καί ἐστι τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΒ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ· ὀρθὴ γὰρ ἡ πρὸς τῷ Ψ·
그러므로 APs는 BPs, PsK 각각에 수직이다. 그리고 AB가 AK와 같으므로, AB 위의 정사각형도 AK 위의 정사각형과 같다. 그리고 AB 위의 정사각형은 APs, PsB 위의 정사각형들［의 합］과 같고 (왜냐하면 Ps에서의 각이 직각이기 때문이다), AK 위의 정사각형은 APs, PsK 위의 정사각형들［의 합］과 같다.
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΒ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΨ, ΨΚ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ τῆς ΑΨ·
그러므로 APs, PsB 위의 정사각형들［의 합］은 APs, PsK 위의 정사각형들［의 합］과 같다. 공통인 APs 위의 정사각형이 빼지게 하라.
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΒΨ λοιπῷ τῷ ἀπὸ τῆς ΨΚ ἴσον ἐστίν·
그러므로 남은 BPs 위의 정사각형은 남은 PsK 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ΒΨ τῇ ΨΚ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ Ψ ἐπὶ τὰ Ο, Σ ἐπιζευγνύμεναι εὐθεῖαι ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρᾳ τῶν ΒΨ, ΨΚ. ὁ ἄρα κέντρῳ τῷ Ψ καὶ διαστήματι ἑνὶ τῶν ΨΒ, ΨΚ γραφόμενος κύκλος ἥξει καὶ διὰ τῶν Ο, Σ, καὶ ἔσται ἐν κύκλῳ τὸ ΚΒΟΣ τετράπλευρον.
그러므로 BPs는 PsK와 같다. 마찬가지로 우리는 Ps로부터 O, S로 이어지는 직선들도 BPs, PsK 각각과 같음을 증명할 것이다. 그러므로 중심이 Ps이고 PsB, PsK 중 하나의 거리로 그려지는 원은 O, S도 지날 것이며, 사각형 KBOS는 원에 내접하게 될 것이다.