§12.prop.12#2καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΛ, ΖΜΝ αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν·
そして、等しい角、すなわち BKL, ZMN に挟まれた辺は比例している。
ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΛ τρίγωνον τῷ ΖΜΝ τριγώνῳ.
したがって、三角形BKLは三角形ZMNに相似である。
πάλιν, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΤ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΟ, καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΒΚΤ, ΖΜΟ, ἐπειδήπερ, ὃ μέρος ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΒΚΤ γωνία τῶν πρὸς τῷ Κ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν, τὸ αὐτὸ μέρος ἐστὶ καὶ ἡ ὑπὸ ΖΜΟ γωνία τῶν πρὸς τῷ Μ κέντρῳ τεσσάρων ὀρθῶν·
再び、BKがKTに対するように、ZMはMOに対するのであり、かつ等しい角、すなわち BKT, ZMO に挟まれており、なぜなら、角BKTが中心Kの周りの4直角に対して占める割合と同じ割合を、角ZMOもまた中心Mの周りの4直角に対して占めるからである。
ἐπεὶ οὖν περὶ ἴσας γωνίας αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν, ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΚΤ τρίγωνον τῷ ΖΜΟ τριγώνῳ.
したがって、等しい角を挟んで辺が比例しているので、それゆえに三角形BKTは三角形ZMOに相似である。
πάλιν, ἐπεὶ ἐδείχθη ὡς ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ΜΝ, ἴση δὲ ἡ μὲν ΒΚ τῇ ΚΤ, ἡ δὲ ΖΜ τῇ ΟΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΤΚ πρὸς τὴν ΚΛ, οὕτως ἡ ΟΜ πρὸς τὴν ΜΝ. καὶ περὶ ἴσας γωνίας τὰς ὑπὸ ΤΚΛ, ΟΜΝ· ὀρθαὶ γάρ·
再び、BKがKLに対するように、ZMはMNに対するということが示され、かつ、BKはKTに等しく、ZMは OMに等しいので、したがって、TKがKLに対するように、OMはMNに対する。 そして、等しい角、すなわち TKL, OMN（なぜならそれらは直角であるから）を挟んで辺が比例している。
αἱ πλευραὶ ἀνάλογόν εἰσιν· ὅμοιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΚΤ τρίγωνον τῷ ΝΜΟ τριγώνῳ.
したがって、三角形LKTは三角形NMOに相似である。
καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΚΒ, ΝΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΚ, οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΒΚΤ, ΖΜΟ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΤ, οὕτως ἡ ΜΖ πρὸς τὴν ΖΟ, διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΛΒ πρὸς τὴν ΒΤ, οὕτως ἡ ΝΖ πρὸς τὴν ΖΟ. πάλιν, ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΛΤΚ, ΝΟΜ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΚ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΜ, διὰ δὲ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΤΚΒ, ΟΜΖ τριγώνων ἐστὶν ὡς ἡ ΚΤ πρὸς τὴν ΤΒ, οὕτως ἡ ΜΟ πρὸς τὴν ΟΖ, διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΛΤ πρὸς τὴν ΤΒ, οὕτως ἡ ΝΟ πρὸς τὴν ΟΖ. ἐδείχθη δὲ καὶ ὡς ἡ ΤΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἡ ΟΖ πρὸς τὴν ΖΝ. διʼ ἴσου ἄρα ὡς ἡ ΤΛ πρὸς τὴν ΛΒ, οὕτως ἡ ΟΝ πρὸς τὴν ΝΖ. τῶν ΛΤΒ, ΝΟΖ ἄρα τριγώνων ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί·
そして、三角形LKB, NMZが相似であることにより、 LBがBKに対するように、NZはZMに対する。 また三角形BKT, ZMOが相似であることにより、KBがBTに対するように、MZはZOに対する。 したがって、等比により、LBがBTに対するように、NZはZOに対する。 再び、三角形LTK, NOMが相似であることにより、 LTがTKに対するように、NOはOMに対する。 また三角形TKB, OMZが相似であることにより、KTがTBに対するように、MOはOZに対する。 したがって、等比により、LTがTBに対するように、NOはOZに対する。 また、TBがBLに対するように、 OZはZNに対するということも示された。 したがって、等比により、TLがLBに対するように、ONはNZに対する。 したがって、三角形LTB, NOZの辺は比例している。
ἰσογώνια ἄρα ἐστὶ τὰ ΛΤΒ, ΝΟΖ τρίγωνα· ὥστε καὶ ὅμοια.
したがって、三角形LTB, NOZは等角であり、それゆえ相似でもある。
καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις μὲν τὸ ΒΚΤ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Λ σημεῖον, ὁμοία ἐστὶ πυραμίδι, ἧς βάσις μὲν τὸ ΖΜΟ τρίγωνον, κορυφὴ δὲ τὸ Ν σημεῖον·
したがって、底面が三角形BKTであり頂点が点Lである錐体は、底面が三角形ZMOであり頂点が点Nである錐体に相似である。
ὑπὸ γὰρ ὁμοίων ἐπιπέδων περιέχονται ἴσων τὸ πλῆθος.
なぜなら、それらは数において等しい相似な平面によって囲まれているからである。
αἱ δὲ ὅμοιαι πυραμίδες καὶ τριγώνους ἔχουσαι βάσεις ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
ところで、三角形の底面をもつ相似な錐体は、対応する辺の3乗の比をもつ。
ἡ ἄρα ΒΚΤΛ πυραμὶς πρὸς τὴν ΖΜΟΝ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΒΚ πρὸς τὴν ΖΜ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνύντες ἀπὸ τῶν Α, Χ, Δ, Φ, Γ, Υ ἐπὶ τὸ Κ εὐθείας καὶ ἀπὸ τῶν Ε, Σ, Θ, Ρ, Η, Π ἐπὶ τὸ Μ καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἐχούσας τοῖς κώνοις δείξομεν, ὅτι καὶ ἑκάστη τῶν ὁμοταγῶν πυραμίδων πρὸς ἑκάστην ὁμοταγῆ πυραμίδα τριπλασίονα λόγον ἕξει ἤπερ ἡ ΒΚ ὁμόλογος πλευρὰ πρὸς τὴν ΖΜ ὁμόλογον πλευράν, τουτέστιν ἤπερ ἡ ΒΔ πρὸς τὴν ΖΘ.
したがって、錐体BKTLは錐体ZMONに対して、 BKがZMに対する比の3乗の比をもつ。 実際、同様に点A, X, D, Ph, G, Yから点Kへ直線を結び、点E, S, Th, R, H, Pから点Mへ [直線を] 結び、それぞれの三角形の上に円錐と同じ頂点をもつ錐体を立ち上げるなら、私たちは、同列の（対応する位置にある）錐体のそれぞれもまた、同列の錐体のそれぞれに対して、対応する辺BKが対応する辺ZMに対する比、すなわちBDがZThに対する比の3乗の比をもつことを示すであろう。