§12.prop.11#1οἱ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ὄντες κῶνοι καὶ κύλινδροι πρὸς ἀλλήλους εἰσὶν ὡς αἱ βάσεις.
等高的圆锥和圆柱彼此之比等于它们的底面之比。
ἔστωσαν ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος κῶνοι καὶ κύλινδροι, ὧν βάσεις μὲν οἱ ΑΒΓΔ, ΕΖΗΘ κύκλοι, ἄξονες δὲ οἱ ΚΛ, ΜΝ, διάμετροι δὲ τῶν βάσεων αἱ ΑΓ, ΕΗ· λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος πρὸς τὸν ΕΝ κῶνον.
设有等高的圆锥和圆柱，它们的底面为圆ABCD、EZHTh，轴为 KL、MN，底面的直径为AC、EH；我且说，正如圆ABCD之比于圆EZHTh，圆锥AL也之比于圆锥EN。
εἰ γὰρ μή, ἔσται ὡς ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως ὁ ΑΛ κῶνος ἤτοι πρὸς ἔλασσόν τι τοῦ ΕΝ κώνου στερεὸν ἢ πρὸς μεῖζον.
因为，如果不是这样，正如圆ABCD之比于圆EZHTh，圆锥AL将之比于某一个小于圆锥EN的立体，或者之比于一个更大的立体。
ἔστω πρότερον πρὸς ἔλασσον τὸ Ξ, καὶ ᾧ ἔλασσόν ἐστι τὸ Ξ στερεὸν τοῦ ΕΝ κώνου, ἐκείνῳ ἴσον ἔστω τὸ Ψ στερεόν· ὁ ΕΝ κῶνος ἄρα ἴσος ἐστὶ τοῖς Ξ, Ψ στερεοῖς.
先设之比于较小的立体X，且设立体Ps等于立体X小于圆锥EN的那个差额；因此圆锥EN等于立体X、Ps之和。
ἐγγεγράφθω εἰς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον τετράγωνον τὸ ΕΖΗΘ· τὸ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κύκλου.
在圆EZHTh中内切正方形EZHTh；因此正方形大于圆的一半。
ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΕΖ ΗΘ τετραγώνου πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ· ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ ἐὰν περιγράψωμεν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον, καὶ ἀπʼ αὐτοῦ ἀναστήσωμεν πυραμίδα ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἡ ἐγγραφεῖσα πυραμὶς ἥμισύ ἐστι τῆς περιγραφείσης· πρὸς ἀλλήλας γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις· ἐλάττων δὲ ὁ κῶνος τῆς περιγραφείσης πυραμίδος.
从正方形EZHTh立起与圆锥等高的棱锥；因此立起的棱锥大于圆锥的一半，因为如果我们围绕圆外切一个正方形，并由此立起与圆锥等高的棱锥，则内接的棱锥是外切的一半；因为它们彼此之比等于它们的底面之比；且圆锥小于外切的棱锥。
τετμήσθωσαν αἱ ΕΖ, ΖΗ, ΗΘ, ΘΕ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ο, Π, Ρ, Σ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΟ, ΟΕ, ΕΠ, ΠΖ, ΖΡ, ΡΗ, ΗΣ, ΣΘ. ἕκαστον ἄρα τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ κύκλου.
将弧EZ、ZH、HTh、ThE分别在点O、P、R、S处二等分，并连接ThO、OE、EP、PZ、 ZR、RH、HS、STh。 因此三角形ThOE、EPZ、ZRH、HSTh的每一个都大于圆的各自对应弓形部分的一半。
ἀνεστάτω ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ τριγώνων πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ κώνῳ· καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου.
在三角形ThOE、EPZ、ZRH、HSTh的每一个之上立起与圆锥等高的棱锥；因此立起的每一个棱锥也大于圆锥的各自对应部分的一半。
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐπὶ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδας ἰσοϋψεῖς τῷ κώνῳ καὶ ἀεὶ τοῦτο ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάσσονα τοῦ Ψ στερεοῦ.
因此，如果我们二等分余下的弧并连接直线，且在每一个三角形上立起与圆锥等高的棱锥，并不断这样做，我们将留下圆锥的一些剩余部分，它们将小于立体Ps。
λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΘΟΕ, ΕΠΖ, ΖΡΗ, ΗΣΘ· λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶ τοῦ Ξ στερεοῦ.
设它们被留下，且设它们为在ThOE、EPZ、ZRH、HSTh之上的；因此，底面为多边形ThOEPZRHS且高与圆锥相同的余下棱锥，大于立体X。
ἐγγεγράφθω καὶ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τῷ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολυγώνῳ ὅμοιόν τε καὶ ὁμοίως κείμενον πολύγωνον τὸ ΔΤΑΥΒ ΦΓΧ, καὶ ἀνεστάτω ἐπʼ αὐτοῦ πυραμὶς ἰσοϋψὴς τῷ ΑΛ κώνῳ.
也在圆ABCD中内切一个与多边形ThOEPZRHS 相似且同样置放的多边形DTAYBPhGCh，并在其上立起与圆锥AL等高的棱锥。
ἐπεὶ οὖν ἐστιν ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕ ΠΖΡΗΣ πολύγωνον, ὡς δὲ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΗ, οὕτως ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, καὶ ὡς ἄρα ὁ ΑΒΓΔ κύκλος πρὸς τὸν ΕΖΗΘ κύκλον, οὕτως τὸ ΔΤΑΥΒΦΓΧ πολύγωνον πρὸς τὸ ΘΟΕΠΖΡΗΣ πολύγωνον.
因为，正如在AC上的正方形之比于在EH上的正方形，多边形DTAYBPhGCh之比于多边形 ThOEPZRHS，而正如在AC上的正方形之比于在EH上的正方形，圆ABCD之比于圆EZHTh，所以也正如圆ABCD之比于圆EZHTh，多边形DTAYBPhGCh之比于多边形ThOEPZRHS。