§12.prop.10#2λέγω δή, ὅτι οὐδὲ ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου.
さて私は言う、円柱は円錐の3倍より小さくもないと。
εἰ γὰρ δυνατόν, ἔστω ἐλάττων ἢ τριπλάσιος ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου·
なぜなら、もし可能なら、円柱は円錐の3倍より小さいとせよ。
ἀνάπαλιν ἄρα ὁ κῶνος τοῦ κυλίνδρου μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος.
すると逆に、円錐は円柱の3分の1より大きい。
ἐγγεγράφθω δὴ εἰς τὸν ΑΒΓΔ κύκλον τετράγωνον τὸ ΑΒΓΔ·
そこで円ABCDに正方形ABCDを内接させよ。
τὸ ΑΒΓΔ ἄρα τετράγωνον μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
すると正方形ABCDは円ABCDの半分より大きい。
καὶ ἀνεστάτω ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου πυραμὶς τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσα τῷ κώνῳ·
そして、正方形ABCDから、円錐と同じ頂点をもつ錐体を立ち上げよ。
ἡ ἄρα ἀνασταθεῖσα πυραμὶς μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ κώνου, ἐπειδήπερ, ὡς ἔμπροσθεν ἐδείκνυμεν, ὅτι ἐὰν περὶ τὸν κύκλον τετράγωνον περιγράψωμεν, ἔσται τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον ἥμισυ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγεγραμμένου τετραγώνου·
すると立ち上げられた錐体は円錐の半分より大きい。
καὶ ἐὰν ἀπὸ τῶν τετραγώνων στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἀναστήσωμεν ἰσοϋψῆ τῷ κώνῳ, ἃ καὶ καλεῖται πρίσματα, ἔσται τὸ ἀνασταθὲν ἀπὸ τοῦ ΑΒΓΔ τετραγώνου ἥμισυ τοῦ ἀνασταθέντος ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου·
なぜなら、前に示したように、もし円の周りに正方形を外接させるならば、正方形ABCDは円の周りに外接された正方形の半分であり、そしてもしそれらの正方形から、円錐と等しい高さの、平行六面体立体（これらは角柱とも呼ばれる）を立ち上げるならば、正方形ABCDから立ち上げられたものは、円の周りに外接された正方形から立ち上げられたものの半分だからである。
πρὸς ἄλληλα γάρ εἰσιν ὡς αἱ βάσεις.
なぜなら、それらは互いにそれらの底面と同じ比をもつからである。
ὥστε καὶ τὰ τρίτα· καὶ πυραμὶς ἄρα, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, ἥμισύ ἐστι τῆς πυραμίδος τῆς ἀνασταθείσης ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον περιγραφέντος τετραγώνου.
したがって（それらの）3分の1もまたそうなり、したがって底面が正方形ABCDである錐体は、円の周りに外接された正方形から立ち上げられた錐体の半分である。
καί ἐστι μείζων ἡ πυραμὶς ἡ ἀνασταθεῖσα ἀπὸ τοῦ περὶ τὸν κύκλον τετραγώνου τοῦ κώνου·
そして、円の周りに外接された正方形から立ち上げられた錐体は、円錐よりも大きい。
ἐμπεριέχει γὰρ αὐτόν.
なぜなら、それはそれを包んでいるからである。
ἡ ἄρα πυραμὶς, ἧς βάσις τὸ ΑΒΓΔ τετράγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ κώνου.
したがって、底面が正方形ABCDであり、頂点が円錐と同じである錐体は、円錐の半分よりも大きい。
τετμήσθωσαν αἱ ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ περιφέρειαι δίχα κατὰ τὰ Ε, Ζ, Η, Θ σημεῖα, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ·
弧AB、BC、CD、DAを点E、Z、H、Thにおいてそれぞれ2等分し、AE、 EB、BZ、ZG、GH、HD、DTh、ThAを結べ。
καὶ ἕκαστον ἄρα τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων μεῖζόν ἐστιν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὸ τμήματος τοῦ ΑΒΓΔ κύκλου.
すると、三角形AEB、BZG、GHD、DThAのそれぞれもまた、円ABCDのそれぞれの対応する弓形部分の半分より大きい。
καὶ ἀνεστάτωσαν ἐφʼ ἑκάστου τῶν ΑΕΒ, ΒΖΓ, ΓΗΔ, ΔΘΑ τριγώνων πυραμίδες τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαι τῷ κώνῳ·
そして、AEB、BZG、GHD、DThAの各三角形の上に、円錐と同じ頂点をもつ錐体を立ち上げよ。
καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν ἀνασταθεισῶν πυραμίδων κατὰ τὸν αὐτὸν τρόπον μείζων ἐστὶν ἢ τὸ ἥμισυ μέρος τοῦ καθʼ ἑαυτὴν τμήματος τοῦ κώνου.
すると、立ち上げられた各錐体もまた、同じ方法によって、円錐のそれぞれの対応する部分の半分より大きい。
τέμνοντες δὴ τὰς ὑπολειπομένας περιφερείας δίχα καὶ ἐπιζευγνύντες εὐθείας καὶ ἀνιστάντες ἐφʼ ἑκάστου τῶν τριγώνων πυραμίδα τὴν αὐτὴν κορυφὴν ἔχουσαν τῷ κώνῳ καὶ τοῦτο ἀεὶ ποιοῦντες καταλείψομέν τινα ἀποτμήματα τοῦ κώνου, ἃ ἔσται ἐλάττονα τῆς ὑπεροχῆς, ᾗ ὑπερέχει ὁ κῶνος τοῦ τρίτου μέρους τοῦ κυλίνδρου.
したがって、残された弧を2等分し、直線を結び、各三角形の上に円錐と同じ頂点をもつ錐体を立ち上げ、これを常に繰り返すならば、私たちは円錐のいくつかの残りの部分を残すことになり、これらは円錐が円柱の3分の1を超えているその超過分よりも小さくなるであろう。
λελείφθω, καὶ ἔστω τὰ ἐπὶ τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΒΖ, ΖΓ, ΓΗ, ΗΔ, ΔΘ, ΘΑ·
それらが残されたとし、それらをAE、EB、BZ、ZG、GH、HD、DTh、ThAの上のものとせよ。
λοιπὴ ἄρα ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, μείζων ἐστὶν ἢ τρίτον μέρος τοῦ κυλίνδρου.
したがって、底面が多角形AEBZGHDThであり、頂点が円錐と同じである残りの錐体は、円柱の3分の1よりも大きい。
ἀλλʼ ἡ πυραμίς, ἧς βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον, κορυφὴ δὲ ἡ αὐτὴ τῷ κώνῳ, τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ πρίσματος, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓ ΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ·
しかし、底面が多角形AEBZGHDThであり、頂点が円錐と同じである錐体は、底面が多角形AEBZG HDThであり、高さが円柱と同じである角柱の3分の1である。
τὸ ἄρα πρίσμα, οὗ βάσις μέν ἐστι τὸ ΑΕΒΖΓΗΔΘ πολύγωνον, ὕψος δὲ τὸ αὐτὸ τῷ κυλίνδρῳ, μεῖζόν ἐστι τοῦ κυλίνδρου, οὗ βάσις ἐστὶν ὁ ΑΒΓΔ κύκλος.
したがって、底面が多角形AEBZGHDThであり、高さが円柱と同じである角柱は、底面が円ABCDである円柱よりも大きい。
ἀλλὰ καὶ ἔλαττον·
しかし、それはまたより小さい。
ἐμπεριέχεται γὰρ ὑπʼ αὐτοῦ·
なぜなら、それはそれによって包まれているからである。
ὅπερ ἐστὶν ἀδύνατον.
これは不可能である。
οὐκ ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου ἐλάττων ἐστὶν ἢ τριπλάσιος.
したがって、円柱は円錐の3倍よりも小さくはない。
ἐδείχθη δέ, ὅτι οὐδὲ μείζων ἢ τριπλάσιος·
そして、3倍よりも大きくもないことが示された。
τριπλάσιος ἄρα ὁ κύλινδρος τοῦ κώνου·
したがって、円柱は円錐の3倍である。
ὥστε ὁ κῶνος τρίτον ἐστὶ μέρος τοῦ κυλίνδρου.
ゆえに、円錐は円柱の3分の1である。
πᾶς ἄρα κῶνος κυλίνδρου τρίτον μέρος ἐστὶ τοῦ τὴν αὐτὴν βάσιν ἔχοντος αὐτῷ καὶ ὕψος ἴσον·
したがって、すべての円錐は、それと同じ底面と等しい高さをもつ円柱の3分の1である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきものであった。