§11.prop.35#2. ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΓΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖς ΖΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσίν.
. したがって、 ΑΓ は ΔΖ に等しく、ΑΒ は ΔΕ に等しいので、2つの直線 ΓΑ, ΑΒ は2つの直線 ΖΔ, ΔΕ に等しい。
ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΔΕ ἐστιν ἴση·
しかし角 ΓΑΒ も角 ΖΔΕ に等しい。
βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστὶ καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις·
したがって、底辺 ΒΓ は底辺 ΕΖ に等しく、三角形は三角形に等しく、残りの角は残りの角に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΝ ἴση·
したがって、角 ΑΓΒ は角 ΔΖΕ に等しい。 そしてまた直角 ΑΓΚ も直角 ΔΖΝ に等しい。
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΚ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΖΝ ἐστιν ἴση.
したがって、残りの角 ΒΓΚ も残りの角 ΕΖΝ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ τῇ ὑπὸ ΖΕΝ ἐστιν ἴση.
同じ理由により、角 ΓΒΚ も角 ΖΕΝ に等しい。
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΓΚ, ΕΖΝ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
いま、2つの三角形 ΒΓΚ, ΕΖΝ があり、2つの角がそれぞれ2つの角に等しく、かつ1つの辺が1つの辺に等しい。 すなわち、等しい角に隣接する辺 ΒΓ が ΕΖ に等しい。
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν.
したがって、残りの辺も残りの辺にそれぞれ等しい。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΖΝ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ ἴση·
したがって、ΓΚ は ΖΝ に等しい。 しかも ΑΓ も ΔΖ に等しい。
δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΚ δυσὶ ταῖς ΔΖ, ΖΝ ἴσαι εἰσίν·
したがって、2つの直線 ΑΓ, ΓΚ は2つの直線 ΔΖ, ΖΝ に等しい。
καὶ ὀρθὰς γωνίας περιέχουσιν.
そしてそれらは直角を挟んでいる。
βάσις ἄρα ἡ ΑΚ βάσει τῇ ΔΝ ἴση ἐστίν.
したがって、底辺 ΑΚ は底辺 ΔΝ に等しい。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΔΜ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΜ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΚ, ΚΘ·
そして ΑΘ は ΔΜ に等しいので、ΑΘ の上の正方形も ΔΜ の上の正方形に等しい。 しかし、ΑΘ の上の正方形は ΑΚ, ΚΘ の上の正方形の和に等しい。
ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΚΘ·
なぜなら、角 ΑΚΘ は直角だからである。
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΜ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΔΝ, ΝΜ·
また、ΔΜ の上の正方形は ΔΝ, ΝΜ の上の正方形の和に等しい。
ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΔΝΜ·
なぜなら、角 ΔΝΜ は直角だからである。
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΚ, ΚΘ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΝ, ΝΜ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΝ·
したがって、 ΑΚ, ΚΘ の上の正方形の和は ΔΝ, ΝΜ の上の正方形の和に等しく、それらのうち ΑΚ の上の正方形は ΔΝ の上の正方形に等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ·
したがって、残りの ΚΘ の上の正方形は ΝΜ の上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΜΝ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΘΑ, ΑΚ δυσὶ ταῖς ΜΔ, ΔΝ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΘΚ βάσει τῇ ΜΝ ἐδείχθη ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΜΔΝ ἐστιν ἴση.
したがって、ΘΚ は ΜΝ に等しい。 そして、2つの直線 ΘΑ, ΑΚ は2つの直線 ΜΔ, ΔΝ にそれぞれ等しく、底辺 ΘΚ は底辺 ΜΝ に等しいことが示されたので、したがって、角 ΘΑΚ は角 ΜΔΝ に等しい。
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως.
したがって、もし２つの平面角が等しく、以下、命題の通りである。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπισταθῶσι δὲ ἐπʼ αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἴσαι ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ ἀπʼ αὐτῶν κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
系これより明らかである。 もし２つの平面角が等しく、それらの上に、はじめの直線のそれぞれと、それぞれ等しい角を挟んで等しい空中の直線が立てられるならば、それらから、はじめの角がある平面の上へ引かれた垂線は互いに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。