§11.prop.35#1ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπὶ δὲ τῶν κορυφῶν αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἐπισταθῶσιν ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, ἐπὶ δὲ τῶν μετεώρων ληφθῇ τυχόντα σημεῖα, καὶ ἀπʼ αὐτῶν ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι, κάθετοι ἀχθῶσιν, ἀπὸ δὲ τῶν γενομένων σημείων ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἐπὶ τὰς ἐξ ἀρχῆς γωνίας ἐπιζευχθῶσιν εὐθεῖαι, ἴσας γωνίας περιέξουσι μετὰ τῶν μετεώρων. ἔστωσαν δύο γωνίαι εὐθύγραμμοι ἴσαι αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΕΔΖ, ἀπὸ δὲ τῶν Α, Δ σημείων μετέωροι εὐθεῖαι ἐφεστάτωσαν αἱ ΑΗ, ΔΜ ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, τὴν μὲν ὑπὸ ΜΔΕ τῇ ὑπὸ ΗΑΒ, τὴν δὲ ὑπὸ ΜΔΖ τῇ ὑπὸ ΗΑΓ, καὶ εἰλήφθω ἐπὶ τῶν ΑΗ, ΔΜ τυχόντα σημεῖα τὰ Η, Μ, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Η, Μ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΒΑΓ, ΕΔΖ ἐπίπεδα κάθετοι αἱ ΗΛ, ΜΝ, καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Ν, Λ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΛΑ, ΝΔ·
もし２つの平面角が等しく、それらの頂点の上に空中に浮いた直線が立てられ、はじめの直線のそれぞれと、それぞれ等しい角を挟んでおり、それらの空中の直線の上に任意の点が取られ、それらの点からはじめの角がある平面の上へ垂線が引かれ、平面の上にできた点からはじめの角の頂点へ直線が結ばれるならば、それらの直線は空中の直線と等しい角を挟んでおり、 2つの等しい直線角を ΒΑΓ, ΕΔΖ とせよ。 そして点 Α, Δ から空中の直線 ΑΗ, ΔΜ が立てられ、はじめの直線のそれぞれと、それぞれ等しい角を挟んでいるとせよ。 すなわち、角 ΜΔΕ は角 ΗΑΒ に等しく、角 ΜΔΖ は角 ΗΑΓ に等しいとせよ。 そして ΑΗ, ΔΜ の上に任意の点 Η, Μ が取られたとせよ。 そして点 Η, Μ から ΒΑΓ, ΕΔΖ を通る平面の上に垂線 ΗΛ, ΜΝ が引かれ、それらの平面と点 Ν, Λ で交わるとせよ。 そして ΛΑ, ΝΔ が結ばれたとせよ。
λέγω, ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΑΛ γωνία τῇ ὑπὸ ΜΔΝ γωνίᾳ.
私は、角 ΗΑΛ は角 ΜΔΝ に等しい、と主張する。
κείσθω τῇ ΔΜ ἴση ἡ ΑΘ, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Θ σημείου τῇ ΗΛ παράλληλος ἡ ΘΚ. ἡ δὲ ΗΛ κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον·
ΔΜ に等しい ΑΘ が切り取られ、点 Θ を通り ΗΛ に平行な ΘΚ が引かれたとせよ。 ところで、ΗΛ は ΒΑΓ を通る平面に対して垂線である。
καὶ ἡ ΘΚ ἄρα κάθετός ἐστιν ἐπὶ τὸ διὰ τῶν ΒΑΓ ἐπίπεδον.
したがってまた、ΘΚ も ΒΑΓ を通る平面に対して垂線である。
ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Κ, Ν σημείων ἐπὶ τὰς ΑΒ, ΑΓ, ΔΖ, ΔΕ εὐθείας κάθετοι αἱ ΚΓ, ΝΖ, ΚΒ, ΝΕ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΘΓ, ΓΒ, ΜΖ, ΖΕ. ἐπεὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΑ, τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΚΑ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΚΓ, ΓΑ, καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΑ ἄρα ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ. τοῖς δὲ ἀπὸ τῶν ΘΚ, ΚΓ ἴσον ἐστὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΘΓ·
点 Κ, Ν から直線 ΑΒ, ΑΓ, ΔΖ, ΔΕ の上に垂線 ΚΓ, ΝΖ, ΚΒ, ΝΕ が引かれ、そして ΘΓ, ΓΒ, ΜΖ, ΖΕ が結ばれたとせよ。 ΘΑ の上の正方形は ΘΚ, ΚΑ の上の正方形の和に等しく、ΚΑ の上の正方形は ΚΓ, ΓΑ の上の正方形の和に等しいので、したがってまた、ΘΑ の上の正方形は ΘΚ, ΚΓ, ΓΑ の上の正方形の和に等しい。 ところで、ΘΚ, ΚΓ の上の正方形の和は ΘΓ の上の正方形に等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ τῆς ΘΑ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΘΓ, ΓΑ. ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΘΓΑ γωνία.
したがって、ΘΑ の上の正方形は ΘΓ, ΓΑ の上の正方形の和に等しい。 したがって、角 ΘΓΑ は直角である。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΔΖΜ γωνία ὀρθή ἐστιν.
同じ理由により、角 ΔΖΜ もまた直角である。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΓΘ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΜ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΜΔΖ ἴση.
したがって、角 ΑΓΘ は角 ΔΖΜ に等しい。 しかも、角 ΘΑΓ も角 ΜΔΖ に等しい。
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΜΔΖ, ΘΑΓ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν ὑποτείνουσαν ὑπὸ μίαν τῶν ἴσων γωνιῶν τὴν ΘΑ τῇ ΜΔ·
いま、2つの三角形 ΜΔΖ, ΘΑΓ があり、2つの角がそれぞれ2つの角に等しく、かつ1つの辺が1つの辺に等しい。 すなわち、等しい角の1つの下に対向する辺 ΘΑ が ΜΔ に等しい。
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξει ἑκατέραν ἑκατέρᾳ.
したがって、残りの辺も残りの辺にそれぞれ等しい。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ. ὁμοίως δὴ δείξομεν, ὅτι καὶ ἡ ΑΒ τῇ ΔΕ ἐστιν ἴση
したがって、ΑΓ は ΔΖ に等しい。 同じようにして、ΑΒ も ΔΕ に等しいことを示すことができる。