ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΑΓ τῇ ΔΖ, ἡ δὲ ΑΒ τῇ ΔΕ, δύο δὴ αἱ ΓΑ, ΑΒ δυσὶ ταῖς ΖΔ, ΔΕ ἴσαι εἰσίν.
그러므로 ΑΓ가 ΔΖ와 같고 ΑΒ가 ΔΕ와 같으므로, 두 직선 ΓΑ, ΑΒ는 두 직선 ΖΔ, ΔΕ와 같다.
ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΓΑΒ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΖΔΕ ἐστιν ἴση·
그런데 각 ΓΑΒ도 각 ΖΔΕ와 같다.
βάσις ἄρα ἡ ΒΓ βάσει τῇ ΕΖ ἴση ἐστὶ καὶ τὸ τρίγωνον τῷ τριγώνῳ καὶ αἱ λοιπαὶ γωνίαι ταῖς λοιπαῖς γωνίαις·
그러므로 밑변 ΒΓ는 밑변 ΕΖ와 같고, 삼각형은 삼각형과 같으며, 남은 각들은 남은 각들과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ ΑΓΒ γωνία τῇ ὑπὸ ΔΖΕ. ἔστι δὲ καὶ ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΓΚ ὀρθῇ τῇ ὑπὸ ΔΖΝ ἴση·
그러므로 각 ΑΓΒ는 각 ΔΖΕ와 같다. 그런데 또한 직각 ΑΓΚ도 직각 ΔΖΝ과 같다.
καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ὑπὸ ΒΓΚ λοιπῇ τῇ ὑπὸ ΕΖΝ ἐστιν ἴση.
그러므로 남은 각 ΒΓΚ도 남은 각 ΕΖΝ과 같다.
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ὑπὸ ΓΒΚ τῇ ὑπὸ ΖΕΝ ἐστιν ἴση.
같은 이유로 각 ΓΒΚ도 각 ΖΕΝ과 같다.
δύο δὴ τρίγωνά ἐστι τὰ ΒΓΚ, ΕΖΝ δύο γωνίας δυσὶ γωνίαις ἴσας ἔχοντα ἑκατέραν ἑκατέρᾳ καὶ μίαν πλευρὰν μιᾷ πλευρᾷ ἴσην τὴν πρὸς ταῖς ἴσαις γωνίαις τὴν ΒΓ τῇ ΕΖ·
이제 두 삼각형 ΒΓΚ, ΕΖΝ이 있어 두 각이 두 각과 각각 같고 한 변이 한 변과 같다. 곧 같은 각들에 이웃한 변 ΒΓ가 ΕΖ와 같다.
καὶ τὰς λοιπὰς ἄρα πλευρὰς ταῖς λοιπαῖς πλευραῖς ἴσας ἕξουσιν.
그러므로 그것들은 또한 남은 변들도 남은 변들과 각각 같을 것이다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΚ τῇ ΖΝ. ἔστι δὲ καὶ ἡ ΑΓ τῇ ΔΖ ἴση·
그러므로 ΓΚ는 ΖΝ과 같다. 게다가 ΑΓ도 ΔΖ와 같다.
δύο δὴ αἱ ΑΓ, ΓΚ δυσὶ ταῖς ΔΖ, ΖΝ ἴσαι εἰσίν·
그러므로 두 직선 ΑΓ, ΓΚ는 두 직선 ΔΖ, ΖΝ과 같다.
καὶ ὀρθὰς γωνίας περιέχουσιν.
그리고 그것들은 직각을 끼고 있다.
βάσις ἄρα ἡ ΑΚ βάσει τῇ ΔΝ ἴση ἐστίν.
그러므로 밑변 ΑΚ는 밑변 ΔΝ과 같다.
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΔΜ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΘ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΜ. ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ τῆς ΑΘ ἴσα ἐστὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΚ, ΚΘ·
그리고 ΑΘ가 ΔΜ과 같으므로, ΑΘ 위의 정사각형도 ΔΜ 위의 정사각형과 같다. 그런데 ΑΘ 위의 정사각형은 ΑΚ, ΚΘ 위의 정사각형들의 합과 같다.
ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΑΚΘ·
왜냐하면 각 ΑΚΘ는 직각이기 때문이다.
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΔΜ ἴσα τὰ ἀπὸ τῶν ΔΝ, ΝΜ·
또한 ΔΜ 위의 정사각형은 ΔΝ, ΝΜ 위의 정사각형들의 합과 같다.
ὀρθὴ γὰρ ἡ ὑπὸ ΔΝΜ·
왜냐하면 각 ΔΝΜ은 직각이기 때문이다.
τὰ ἄρα ἀπὸ τῶν ΑΚ, ΚΘ ἴσα ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΔΝ, ΝΜ, ὧν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΚ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΔΝ·
그러므로 ΑΚ, ΚΘ 위의 정사각형들의 합은 ΔΝ, ΝΜ 위의 정사각형들의 합과 같고, 그것들 중 ΑΚ 위의 정사각형은 ΔΝ 위의 정사각형과 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΚΘ ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ τῆς ΝΜ·
그러므로 남은 ΚΘ 위의 정사각형은 ΝΜ 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἡ ΘΚ τῇ ΜΝ. καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΘΑ, ΑΚ δυσὶ ταῖς ΜΔ, ΔΝ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, καὶ βάσις ἡ ΘΚ βάσει τῇ ΜΝ ἐδείχθη ἴση, γωνία ἄρα ἡ ὑπὸ ΘΑΚ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΜΔΝ ἐστιν ἴση.
그러므로 ΘΚ는 ΜΝ과 같다. 그리고 두 ΘΑ, ΑΚ가 두 ΜΔ, ΔΝ과 각각 같고, 밑변 ΘΚ가 밑변 ΜΝ과 같음이 증명되었으므로, 그러므로 각 ΘΑΚ는 각 ΜΔΝ과 같다.
ἐὰν ἄρα ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι καὶ τὰ ἑξῆς τῆς προτάσεως.
그러므로 만일 두 평면각이 같고, 이하 명제와 같다.
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι, ἐὰν ὦσι δύο γωνίαι ἐπίπεδοι ἴσαι, ἐπισταθῶσι δὲ ἐπʼ αὐτῶν μετέωροι εὐθεῖαι ἴσαι ἴσας γωνίας περιέχουσαι μετὰ τῶν ἐξ ἀρχῆς εὐθειῶν ἑκατέραν ἑκατέρᾳ, αἱ ἀπʼ αὐτῶν κάθετοι ἀγόμεναι ἐπὶ τὰ ἐπίπεδα, ἐν οἷς εἰσιν αἱ ἐξ ἀρχῆς γωνίαι, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
따름정리 이로써 다음이 명백하다. 만일 두 평면각이 같고, 그것들 위에 처음의 직선들과 각각 같은 각을 끼고 같은 길이의 공중에 뜬 직선들이 세워진다면, 그것들로부터 처음의 각들이 있는 평면들 위에 그어지는 수선들은 서로 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 증명하고자 했던 바이다.