§11.prop.34#2ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν·
しかし、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、立体 ΑΒ と立体 ΓΦ との比に等しい。
ἰσοϋψῆ γάρ ἐστι τὰ ΑΒ, ΓΦ στερεά·
なぜなら、立体 ΑΒ, ΓΦ は高さが等しいからである。
ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ, οὕτως ἥ τε ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΠΤ βάσιν καὶ τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν.
他方、ΓΜ と ΓΤ との比は、底面 ΜΠ と底面 ΠΤ との比に等しく、かつ立体 ΓΔ と立体 ΓΦ との比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν·
したがってまた、立体 ΑΒ と立体 ΓΦ との比は、立体 ΓΔ と立体 ΓΦ との比に等しい。
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ πρὸς τὸ ΓΦ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
したがって、立体 ΑΒ, ΓΔ のそれぞれは、立体 ΓΦ に対し同じ比をもつ。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.
したがって、立体 ΑΒ は立体 ΓΔ に等しい。
μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΖΕ, ΒΛ, ΗΑ, ΘΚ, ΞΝ, ΔΟ, ΜΓ, ΡΠ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Ζ, Η, Β, Κ, Ξ, Μ, Δ, Ρ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΕΘ, ΝΠ ἐπίπεδα κάθετοι καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, #2, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΖΦ, ΞΩ στερεά·
さて、立っている直線 ΖΕ, ΒΛ, ΗΑ, ΘΚ, ΞΝ, ΔΟ, ΜΓ, ΡΠ がそれらの底面に対して直角でないとし、点 Ζ, Η, Β, Κ, Ξ, Μ, Δ, Ρ から、ΕΘ, ΝΠ を通る平面の上に垂線が引かれ、それらの平面と、点 Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, #2 で交わるとせよ。 そして、立体 ΖΦ, ΞΩ が完成されたとせよ。
λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἴσων ὄντων τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.
私は、このようであっても、立体 ΑΒ, ΓΔ が等しいとき、底面と高さは反比例しており、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、立体 ΓΔ の高さに対する立体 ΑΒ の高さの比に等しい、と主張する。
ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΒΤ ἐστιν ἴσον·
なぜなら、立体 ΑΒ は立体 ΓΔ に等しいが、立体 ΑΒ は立体 ΒΤ に等しい。
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος·
なぜなら、それらは同じ底面 ΖΚ の上にあり、かつ同じ高さのもとにあるからである。
τὸ δὲ ΓΔ στερεὸν τῷ ΔΨ ἐστιν ἴσον·
一方、立体 ΓΔ は立体 ΔΨ に等しい。
ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΞ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος·
なぜなら、それらは再び同じ底面 ΡΞ の上にあり、かつ同じ高さのもとにあるからである。
καὶ τὸ ΒΤ ἄρα στερεὸν τῷ ΔΨ στερεῷ ἴσον ἐστίν.
したがってまた、立体 ΒΤ は立体 ΔΨ に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος.
したがって、底面 ΖΚ と底面 ΞΡ との比は、立体 ΔΨ の高さに対する立体 ΒΤ の高さの比に等しい。
ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΚ βάσις τῇ ΕΘ βάσει, ἡ δὲ ΞΡ βάσις τῇ ΝΠ βάσει·
しかも、底面 ΖΚ は底面 ΕΘ に等しく、底面 ΞΡ は底面 ΝΠ に等しい。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος.
したがって、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、立体 ΔΨ の高さに対する立体 ΒΤ の高さの比に等しい。
τὰ δʼ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΔΨ, ΒΤ στερεῶν καὶ τῶν ΔΓ, ΒΑ·
ところで、立体 ΔΨ, ΒΤ の高さは、立体 ΔΓ, ΒΑ の高さと同じである。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΓ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.
したがって、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、立体 ΔΓ の高さに対する立体 ΑΒ の高さの比に等しい。
τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
したがって、立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ の底面と高さは反比例している。
πάλιν δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος·
再び、立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ の底面と高さが反比例しているとし、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、立体 ΓΔ の高さに対する立体 ΑΒ の高さの比に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.
私は、立体 ΑΒ は立体 ΓΔ に等しい、と主張する。
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΘ βάσις τῇ ΖΚ βάσει, ἡ δὲ ΝΠ τῇ ΞΡ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.
なぜなら、同じものが作図されたとき、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、立体 ΓΔ の高さに対する立体 ΑΒ の高さの比に等しく、底面 ΕΘ は底面 ΖΚ に等しく、底面 ΝΠ は底面 ΞΡ に等しいので、したがって、底面 ΖΚ と底面 ΞΡ との比は、立体 ΓΔ の高さに対する立体 ΑΒ の高さの比に等しい。
τὰ δʼ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν καὶ τῶν ΒΤ, ΔΨ·
ところで、立体 ΑΒ, ΓΔ の高さは、立体 ΒΤ, ΔΨ の高さと同じである。
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος.
したがって、底面 ΖΚ と底面 ΞΡ との比は、立体 ΔΨ の高さに対する立体 ΒΤ の高さの比に等しい。
τῶν ΒΤ, ΔΨ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν·
したがって、立体平行六面体 ΒΤ, ΔΨ の底面と高さは反比例している。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΤ στερεὸν τῷ ΔΨ στερεῷ.
したがって、立体 ΒΤ は立体 ΔΨ に等しい。
ἀλλὰ τὸ μὲν ΒΤ τῷ ΒΑ ἴσον ἐστίν·
ところが、立体 ΒΤ は立体 ΒΑ に等しい。
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος.
なぜなら、それらは同じ底面 ΖΚ の上にあり、かつ同じ高さのもとにあるからである。
τὸ δὲ ΔΨ στερεὸν τῷ ΔΓ στερεῷ ἴσον ἐστίν.
一方、立体 ΔΨ は立体 ΔΓ に等しい。
καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἐστιν ἴσον·
したがってまた、立体 ΑΒ は立体 ΓΔ に等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。