§11.prop.34#2ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν·
그러나 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 입체 ΑΒ 대 입체 ΓΦ의 비와 같다.
ἰσοϋψῆ γάρ ἐστι τὰ ΑΒ, ΓΦ στερεά·
왜냐하면 입체 ΑΒ, ΓΦ는 높이가 같기 때문이다.
ὡς δὲ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ, οὕτως ἥ τε ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΠΤ βάσιν καὶ τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν.
한편 ΓΜ 대 ΓΤ의 비는 밑면 ΜΠ 대 밑면 ΠΤ의 비와 같고, 또한 입체 ΓΔ 대 입체 ΓΦ의 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν·
그러므로 또한 입체 ΑΒ 대 입체 ΓΦ의 비는 입체 ΓΔ 대 입체 ΓΦ의 비와 같다.
ἑκάτερον ἄρα τῶν ΑΒ, ΓΔ πρὸς τὸ ΓΦ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον.
그러므로 입체 ΑΒ, ΓΔ 각각은 입체 ΓΦ에 대해 같은 비를 가진다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.
그러므로 입체 ΑΒ는 입체 ΓΔ와 같다.
μὴ ἔστωσαν δὴ αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΖΕ, ΒΛ, ΗΑ, ΘΚ, ΞΝ, ΔΟ, ΜΓ, ΡΠ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν, καὶ ἤχθωσαν ἀπὸ τῶν Ζ, Η, Β, Κ, Ξ, Μ, Δ, Ρ σημείων ἐπὶ τὰ διὰ τῶν ΕΘ, ΝΠ ἐπίπεδα κάθετοι καὶ συμβαλλέτωσαν τοῖς ἐπιπέδοις κατὰ τὰ Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, #2, καὶ συμπεπληρώσθω τὰ ΖΦ, ΞΩ στερεά·
이제 서 있는 직선 ΖΕ, ΒΛ, ΗΑ, ΘΚ, ΞΝ, ΔΟ, ΜΓ, ΡΠ가 그것들의 밑면에 대해 직각이 아니라고 하자. 그리고 점 Ζ, Η, Β, Κ, Ξ, Μ, Δ, Ρ로부터 ΕΘ, ΝΠ를 지나는 평면들 위에 수선들을 긋고, 평면들과 점 Σ, Τ, Υ, Φ, Χ, Ψ, Ω, #2에서 만나게 하자. 그리고 입체 ΖΦ, ΞΩ가 완성되었다고 하자.
λέγω, ὅτι καὶ οὕτως ἴσων ὄντων τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.
나는 이와 같더라도, 입체 ΑΒ, ΓΔ가 같을 때 밑면과 높이가 서로 반비례하며, 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 입체 ΓΔ의 높이 대 입체 ΑΒ의 높이의 비와 같다고 주장한다.
ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἀλλὰ τὸ μὲν ΑΒ τῷ ΒΤ ἐστιν ἴσον·
왜냐하면 입체 ΑΒ는 입체 ΓΔ와 같으나, 입체 ΑΒ는 입체 ΒΤ와 같다.
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος·
왜냐하면 그것들은 같은 밑면 ΖΚ 위에 있고 높이가 같기 때문이다.
τὸ δὲ ΓΔ στερεὸν τῷ ΔΨ ἐστιν ἴσον·
한편 입체 ΓΔ는 입체 ΔΨ 와 같다.
ἐπί τε γὰρ πάλιν τῆς αὐτῆς βάσεώς εἰσι τῆς ΡΞ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος·
왜냐하면 그것들은 다시 같은 밑면 ΡΞ 위에 있고 높이가 같기 때문이다.
καὶ τὸ ΒΤ ἄρα στερεὸν τῷ ΔΨ στερεῷ ἴσον ἐστίν.
그러므로 또한 입체 ΒΤ는 입체 ΔΨ와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος.
그러므로 밑면 ΖΚ 대 밑면 ΞΡ의 비는 입체 ΔΨ의 높이 대 입체 ΒΤ의 높이의 비와 같다.
ἴση δὲ ἡ μὲν ΖΚ βάσις τῇ ΕΘ βάσει, ἡ δὲ ΞΡ βάσις τῇ ΝΠ βάσει·
그런데 밑면 ΖΚ는 밑면 ΕΘ와 같고, 밑면 ΞΡ는 밑면 ΝΠ와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος.
그러므로 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 입체 ΔΨ의 높이 대 입체 ΒΤ의 높이의 비와 같다.
τὰ δʼ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΔΨ, ΒΤ στερεῶν καὶ τῶν ΔΓ, ΒΑ·
그런데 입체 ΔΨ, ΒΤ의 높이는 입체 ΔΓ, ΒΑ의 높이와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΓ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.
그러므로 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 입체 ΔΓ의 높이 대 입체 ΑΒ의 높이의 비와 같다.
τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
그러므로 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ의 밑면과 높이는 서로 반비례한다.
πάλιν δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος·
다시 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ의 밑면과 높이가 서로 반비례한다고 하고, 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 입체 ΓΔ의 높이 대 입체 ΑΒ의 높이의 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.
나는 입체 ΑΒ가 입체 ΓΔ와 같다고 주장한다.
τῶν γὰρ αὐτῶν κατασκευασθέντων, ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος, ἴση δὲ ἡ μὲν ΕΘ βάσις τῇ ΖΚ βάσει, ἡ δὲ ΝΠ τῇ ΞΡ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.
왜냐하면 같은 것들이 작도되었을 때, 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 입체 ΓΔ의 높이 대 입체 ΑΒ의 높이의 비와 같고, 밑면 ΕΘ는 밑면 ΖΚ와 같고, 밑면 ΝΠ는 밑면 ΞΡ와 같으므로, 그러므로 밑면 ΖΚ 대 밑면 ΞΡ의 비는 입체 ΓΔ의 높이 대 입체 ΑΒ의 높이의 비와 같다.
τὰ δʼ αὐτὰ ὕψη ἐστὶ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν καὶ τῶν ΒΤ, ΔΨ·
그런데 입체 ΑΒ, ΓΔ의 높이는 입체 ΒΤ, ΔΨ의 높이와 같다.
ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΖΚ βάσις πρὸς τὴν ΞΡ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΔΨ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΒΤ στερεοῦ ὕψος.
그러므로 밑면 ΖΚ 대 밑면 ΞΡ의 비는 입체 ΔΨ의 높이 대 입체 ΒΤ의 높이의 비와 같다.
τῶν ΒΤ, ΔΨ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν·
그러므로 입체 평행육면체 ΒΤ, ΔΨ의 밑면과 높이는 서로 반비례한다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΒΤ στερεὸν τῷ ΔΨ στερεῷ.
그러므로 입체 ΒΤ는 입체 ΔΨ와 같다.
ἀλλὰ τὸ μὲν ΒΤ τῷ ΒΑ ἴσον ἐστίν·
그런데 입체 ΒΤ는 입체 ΒΑ와 같다.
ἐπί τε γὰρ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΖΚ καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος.
왜냐하면 그것들은 같은 밑면 ΖΚ 위에 있고 높이가 같기 때문이다.
τὸ δὲ ΔΨ στερεὸν τῷ ΔΓ στερεῷ ἴσον ἐστίν.
한편 입체 ΔΨ는 입체 ΔΓ와 같다.
καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἐστιν ἴσον·
그러므로 또한 입체 ΑΒ는 입체 ΓΔ와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 할 것이었다.