§11.prop.34#1τῶν ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν·
等しい立体平行六面体においては、底面と高さが反比例する。
καὶ ὧν στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
また、底面と高さが反比例する立体平行六面体は、それらは等しい。
ἔστω ἴσα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ·
等しい立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ があるとせよ。
λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.
私は、立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ の底面と高さは反比例しており、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、立体 ΓΔ の高さに対する立体 ΑΒ の高さの比に等しい、と主張する。
ἔστωσαν γὰρ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ, ΕΖ, ΛΒ, ΘΚ, ΓΜ, ΝΞ, ΟΔ, ΠΡ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν·
なぜなら、まず、立っている直線 ΑΗ, ΕΖ, ΛΒ, ΘΚ, ΓΜ, ΝΞ, ΟΔ, ΠΡ がそれらの底面に対して直角であるとせよ。
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ.
εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστιν ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον, ἔσται καὶ ἡ ΓΜ τῇ ΑΗ ἴση.
私は、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、ΓΜ と ΑΗ との比に等しい、と主張する。 さて、もし底面 ΕΘ が底面 ΝΠ に等しく、かつ立体 ΑΒ も立体 ΓΔ に等しいならば、ΓΜ も ΑΗ に等しくなるであろう。
τὰ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.
なぜなら、同じ高さのもとにある立体平行六面体は、互いにそれらの底面の比に等しいからである。
καὶ ἔσται ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ, καὶ φανερόν, ὅτι τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
そして、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、ΓΜ と ΑΗ との比に等しくなり、立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ の底面と高さが反比例していることは明らかである。
μὴ ἔστω δὴ ἴση ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, ἀλλʼ ἔστω μείζων ἡ ΕΘ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον·
さて、底面 ΕΘ は底面 ΝΠ に等しくないとし、ΕΘ の方が大きいとせよ。 また立体 ΑΒ も立体 ΓΔ に等しい。
μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΜ τῆς ΑΗ.
したがって、ΓΜ も ΑΗ より大きい。
κείσθω οὖν τῇ ΑΗ ἴση ἡ ΓΤ, καὶ συμπεπληρώσθω ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΝΠ, ὕψους δὲ τοῦ ΓΤ, στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΦΓ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἔξωθεν δὲ τὸ ΓΦ, τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν.
そこで、ΑΗ に等しい ΓΤ が置かれたとせよ。 そして底面を ΝΠ とし、高さを ΓΤ とする立体平行六面体 ΦΓ が完成されたとせよ。 そして、立体 ΑΒ は立体 ΓΔ に等しく、外部に ΓΦ があるので、等しいものが同じものに対してもつ比は同じであるから、したがって、立体 ΑΒ と立体 ΓΦ との比は、立体 ΓΔ と立体 ΓΦ との比に等しい。
ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν·
ところが、立体 ΑΒ と立体 ΓΦ との比は、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比に等しい。
ἰσοϋψῆ γὰρ τὰ ΑΒ, ΓΦ στερεά·
なぜなら、立体 ΑΒ, ΓΦ は高さが等しいからである。
ὡς δὲ τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΤΠ βάσιν καὶ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ·
一方、立体 ΓΔ と立体 ΓΦ との比は、底面 ΜΠ と底面 ΤΠ との比、すなわち ΓΜ と ΓΤ との比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΓΤ. ἴση δὲ ἡ ΓΤ τῇ ΑΗ·
したがってまた、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、ΜΓ と ΓΤ との比に等しい。 しかも ΓΤ は ΑΗ に等しい。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
したがってまた、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、ΜΓ と ΑΗ との比に等しい。 したがって、立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ の底面と高さは反比例している。
πάλιν δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος·
次に、立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ の底面と高さが反比例しているとし、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、立体 ΓΔ の高さに対する立体 ΑΒ の高さの比に等しいとせよ。
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.
私は、立体 ΑΒ は立体 ΓΔ に等しい、と主張する。
ἔστωσαν πάλιν αἱ ἐφεστηκυῖαι πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν, καὶ εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος τῷ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψει.
再び、立っている（直線）が底面に対して直角であるとせよ。 そして、もし底面 ΕΘ が底面 ΝΠ に等しく、かつ底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比が、立体 ΓΔ の高さに対する立体 ΑΒ の高さの比に等しいならば、立体 ΓΔ の高さも立体 ΑΒ の高さに等しい。
τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
ところで、等しい底面の上にあり、かつ同じ高さのもとにある立体平行六面体は、互いに等しい。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.
したがって、立体 ΑΒ は立体 ΓΔ に等しい。
μὴ ἔστω δὴ ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ ἴση, ἀλλʼ ἔστω μείζων ἡ ΕΘ·
さて、底面 ΕΘ は底面 ΝΠ に等しくないとし、ΕΘ の方が大きいとせよ。
μεῖζον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος τοῦ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψους, τουτέστιν ἡ ΓΜ τῆς ΑΗ. κείσθω τῇ ΑΗ ἴση πάλιν ἡ ΓΤ, καὶ συμπεπληρώσθω ὁμοίως τὸ ΓΦ στερεόν.
したがって、立体 ΓΔ の高さも立体 ΑΒ の高さより大きい、すなわち ΓΜ は ΑΗ より大きい。 再び ΑΗ に等しい ΓΤ が置かれたとせよ。 そして同様にして立体 ΓΦ が完成されたとせよ。
ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ, ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΓΤ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ.
底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、ΜΓ と ΑΗ との比に等しく、ΑΗ は ΓΤ に等しいので、したがって、底面 ΕΘ と底面 ΝΠ との比は、ΓΜ と ΓΤ との比に等しい。