§11.prop.33τὰ ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλα ἐν τριπλασίονι λόγῳ εἰσὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν.
相似な立体平行六面体は、互いに対応する辺の三乗比（三倍の比）にある。
ἔστω ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ, ὁμόλογος δὲ ἔστω ἡ ΑΕ τῇ ΓΖ·
相似な立体平行六面体 ΑΒ, ΓΔ があるとし、ΑΕ が ΓΖ に対応しているとせよ。
λέγω, ὅτι τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει, ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ.
ἐκβεβλήσθωσαν γὰρ ἐπʼ εὐθείας ταῖς ΑΕ, ΗΕ, ΘΕ αἱ ΕΚ, ΕΛ, ΕΜ, καὶ κείσθω τῇ μὲν ΓΖ ἴση ἡ ΕΚ, τῇ δὲ ΖΝ ἴση ἡ ΕΛ, καὶ ἔτι τῇ ΖΡ ἴση ἡ ΕΜ, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον καὶ τὸ ΚΟ στερεόν.
私は、立体 ΑΒ と立体 ΓΔ との比は、ΑΕ と ΓΖ との比の三倍の比（三乗比）をもつ、と主張する。 なぜなら、直線 ΑΕ, ΗΕ, ΘΕ と一直線上に、直線 ΕΚ, ΕΛ, ΕΜ が延長されたとし、ΓΖ に等しい ΕΚ、 ΖΝ に等しい ΕΛ、さらに ΖΡ に等しい ΕΜ が置かれたとせよ。 そして平行四辺形 ΚΛ と立体 ΚΟ が完成されたとせよ。
καὶ ἐπεὶ δύο αἱ ΚΕ, ΕΛ δυσὶ ταῖς ΓΖ, ΖΝ ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ γωνία ἡ ὑπὸ ΚΕΛ γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση, ἐπειδήπερ καὶ ἡ ὑπὸ ΑΕΗ τῇ ὑπὸ ΓΖΝ ἐστιν ἴση διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν, ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΚΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΓΝ παραλληλογράμμῳ.
そして、2つの直線 ΚΕ, ΕΛ は2つの直線 ΓΖ, ΖΝ に等しく、また角 ΚΕΛ も角 ΓΖΝ に等しい。 なぜなら、立体 ΑΒ, ΓΔ の相似性のゆえに角 ΑΕΗ も角 ΓΖΝ に等しいからである。 したがって、平行四辺形 ΚΛ は平行四辺形 ΓΝ に等しい。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ μὲν ΚΜ παραλληλόγραμμον ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον τῷ ΓΡ καὶ ἔτι τὸ ΕΟ τῷ ΔΖ·
まったく同じ理由により、平行四辺形 ΚΜ は平行四辺形 ΓΡ に等しくかつ相似であり、さらに平行四辺形 ΕΟ は ΔΖ に等しくかつ相似である。
τρία ἄρα παραλληλόγραμμα τοῦ ΚΟ στερεοῦ τρισὶ παραλληλογράμμοις τοῦ ΓΔ στερεοῦ ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια.
したがって、立体 ΚΟ の3つの平行四辺形は、立体 ΓΔ の3つの平行四辺形に等しくかつ相似である。
ἀλλὰ τὰ μὲν τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια, τὰ δὲ τρία τρισὶ τοῖς ἀπεναντίον ἴσα ἐστὶ καὶ ὅμοια·
しかし、これら3つの平行四辺形は対面にある3つの平行四辺形にそれぞれ等しくかつ相似であり、かつ（あちらの）3つの平行四辺形も対面にある3つの平行四辺形にそれぞれ等しくかつ相似である。
ὅλον ἄρα τὸ ΚΟ στερεὸν ὅλῳ τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον ἐστὶ καὶ ὅμοιον.
したがって、立体 ΚΟ 全体は立体 ΓΔ 全体に等しくかつ相似である。
συμπεπληρώσθω τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, καὶ ἀπὸ βάσεων μὲν τῶν ΗΚ, ΚΛ παραλληλογράμμων, ὕψους δὲ τοῦ αὐτοῦ τῷ ΑΒ στερεὰ συμπεπληρώσθω τὰ ΕΞ, ΛΠ. καὶ ἐπεὶ διὰ τὴν ὁμοιότητα τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν ἐστιν ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΖ, οὕτως ἡ ΕΗ πρὸς τὴν ΖΝ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΖΡ, ἴση δὲ ἡ μέν ΓΖ τῇ ΕΚ, ἡ δὲ ΖΝ τῇ ΕΛ, ἡ δὲ ΖΡ τῇ ΕΜ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΛ καὶ ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΜ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΚ παραλληλόγραμμον, ὡς δὲ ἡ ΗΕ πρὸς τὴν ΕΛ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ, ὡς δὲ ἡ ΘΕ πρὸς ΕΜ, οὕτως τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ·
平行四辺形 ΗΚ が完成されたとせよ。 そして平行四辺形 ΗΚ, ΚΛ を底面とし、立体 ΑΒ と同じ高さを有する立体 ΕΞ, ΛΠ が完成されたとせよ。 そして、立体 ΑΒ, ΓΔ の相似性のゆえに、ΑΕ と ΓΖ との比は、ΕΗ と ΖΝ との比、および ΕΘ と ΖΡ との比に等しく、しかも ΓΖ は ΕΚ に、ΖΝ は ΕΛ に、ΖΡ は ΕΜ に等しいので、したがって、ΑΕ と ΕΚ との比は、ΗΕ と ΕΛ との比、および ΘΕ と ΕΜ との比に等しい。 ところが、ΑΕ と ΕΚ との比は、平行四辺形 ΑΗ と ΗΚ との比に等しく、ΗΕ と ΕΛ との比は、平行四辺形 ΗΚ と ΚΛ との比に等しく、ΘΕ と ΕΜ との比は、平行四辺形 ΠΕ と ΚΜ との比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ καὶ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ. ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΗ πρὸς τὸ ΗΚ, οὕτως τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΗΚ πρὸς τὸ ΚΛ, οὕτως τὸ ΞΕ στερεὸν πρὸς τὸ ΠΛ στερεόν, ὡς δὲ τὸ ΠΕ πρὸς τὸ ΚΜ, οὕτως τὸ ΠΛ στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ στερεόν·
したがってまた、平行四辺形 ΑΗ と ΗΚ との比は、平行四辺形 ΗΚ と ΚΛ との比、および ΠΕ と ΚΜ との比に等しい。 ところが、平行四辺形 ΑΗ と ΗΚ との比は、立体 ΑΒ と立体 ΕΞ との比に等しく、平行四辺形 ΗΚ と ΚΛ との比は、立体 ΕΞ と立体 ΠΛ との比に等しく、平行四辺形 ΠΕ と ΚΜ との比は、立体 ΠΛ と立体 ΚΟ との比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΕΞ, οὕτως τὸ ΕΞ πρὸς τὸ ΠΛ καὶ τὸ ΠΛ πρὸς τὸ ΚΟ. ἐὰν δὲ τέσσαρα μεγέθη κατὰ τὸ συνεχὲς ἀνάλογον ᾖ, τὸ πρῶτον πρὸς τὸ τέταρτον τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον·
したがってまた、立体 ΑΒ と ΕΞ との比は、ΕΞ と ΠΛ との比、および ΠΛ と ΚΟ との比に等しい。 ところで、もし4つの量が連比例するならば、第1の量と第4の量との比は、第1の量と第2の量との比の三倍の比をもつ。
τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΞ. ἀλλʼ ὡς τὸ ΑΒ πρὸς τὸ ΕΞ, οὕτως τὸ ΑΗ παραλληλόγραμμον πρὸς τὸ ΗΚ καὶ ἡ ΑΕ εὐθεῖα πρὸς τὴν ΕΚ·
したがって、立体 ΑΒ と ΚΟ との比は、立体 ΑΒ と ΕΞ との比の三倍の比をもつ。 ところが、立体 ΑΒ と ΕΞ との比は、平行四辺形 ΑΗ と ΗΚ との比、および直線 ΑΕ と ΕΚ との比に等しい。
ὥστε καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΚΟ τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΚ. ἴσον δὲ τὸ ΚΟ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἡ δὲ ΕΚ εὐθεῖα τῇ ΓΖ·
したがって、立体 ΑΒ と ΚΟ との比もまた、ΑΕ と ΕΚ との比の三倍の比をもつ。 ところが、立体 ΚΟ は立体 ΓΔ に等しく、直線 ΕΚ は ΓΖ に等しい。
καὶ τὸ ΑΒ ἄρα στερεὸν πρὸς τὸ ΓΔ στερεὸν τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ ἡ ὁμόλογος αὐτοῦ πλευρὰ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ὁμόλογον πλευρὰν τὴν ΓΖ.
τὰ ἄρα ὅμοια στερεὰ παραλληλεπίπεδα ἐν τριπλασίονι λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν·
したがってまた、立体 ΑΒ と立体 ΓΔ との比は、その対応する辺 ΑΕ と対応する辺 ΓΖ との比の三倍の比をもつ。 したがって、相似な立体平行六面体は、互いに対応する辺の三倍の比にある。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
Πόρισμα
ἐκ δὴ τούτου φανερόν, ὅτι ἐὰν τέσσαρες εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἔσται ὡς ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην, οὕτω τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης στερεὸν παραλληλεπίπεδον πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τὸ ὅμοιον καὶ ὁμοίως ἀναγραφόμενον, ἐπείπερ καὶ ἡ πρώτη πρὸς τὴν τετάρτην τριπλασίονα λόγον ἔχει ἤπερ πρὸς τὴν δευτέραν.
系このことから、もし4つの直線が比例するならば、第1の直線に対する第4の直線の比は、第1の直線の上に作られた立体平行六面体に対する、第2の直線の上に作られたこれに相似で相似に描かれた立体平行六面体の比に等しいことは明らかである。 なぜなら、第1の直線に対する第4の直線の比も、第2の直線に対する比の三倍の比をもつからである。