§11.prop.34#1τῶν ἴσων στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν·
같은 입체 평행육면체들은 밑면과 높이가 서로 반비례한다.
καὶ ὧν στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, ἴσα ἐστὶν ἐκεῖνα.
그리고 밑면과 높이가 서로 반비례하는 입체 평행육면체들은 서로 같다.
ἔστω ἴσα στερεὰ παραλληλεπίπεδα τὰ ΑΒ, ΓΔ·
같은 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ가 있다고 하자.
λέγω, ὅτι τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος.
나는 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ의 밑면과 높이가 서로 반비례하며, 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 입체 ΓΔ의 높이 대 입체 ΑΒ의 높이의 비와 같다고 주장한다.
ἔστωσαν γὰρ πρότερον αἱ ἐφεστηκυῖαι αἱ ΑΗ, ΕΖ, ΛΒ, ΘΚ, ΓΜ, ΝΞ, ΟΔ, ΠΡ πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν αὐτῶν·
왜냐하면 먼저 밑면에 수직으로 서 있는 직선 ΑΗ, ΕΖ, ΛΒ, ΘΚ, ΓΜ, ΝΞ, ΟΔ, ΠΡ가 그것들의 밑면에 대해 직각이라고 하자.
λέγω, ὅτι ἐστὶν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ.
εἰ μὲν οὖν ἴση ἐστιν ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον, ἔσται καὶ ἡ ΓΜ τῇ ΑΗ ἴση.
나는 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 ΓΜ 대 ΑΗ의 비와 같다고 주장한다. 우선 만일 밑면 ΕΘ가 밑면 ΝΠ와 같고, 또한 입체 ΑΒ도 입체 ΓΔ와 같다면, ΓΜ도 ΑΗ와 같아질 것이다.
τὰ γὰρ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος στερεὰ παραλληλεπίπεδα πρὸς ἄλληλά ἐστιν ὡς αἱ βάσεις.
왜냐하면 같은 높이의 입체 평행육면체들은 서로에 대해 밑면들의 비와 같기 때문이다.
καὶ ἔσται ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΑΗ, καὶ φανερόν, ὅτι τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
그리고 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 ΓΜ 대 ΑΗ의 비와 같아질 것이며, 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ의 밑면과 높이가 서로 반비례한다는 것은 분명하다.
μὴ ἔστω δὴ ἴση ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, ἀλλʼ ἔστω μείζων ἡ ΕΘ. ἔστι δὲ καὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ ἴσον·
이제 밑면 ΕΘ가 밑면 ΝΠ와 같지 않고, ΕΘ가 더 크다고 하자. 또한 입체 ΑΒ도 입체 ΓΔ와 같다.
μείζων ἄρα ἐστὶ καὶ ἡ ΓΜ τῆς ΑΗ.
그러므로 ΓΜ도 ΑΗ보다 크다.
κείσθω οὖν τῇ ΑΗ ἴση ἡ ΓΤ, καὶ συμπεπληρώσθω ἀπὸ βάσεως μὲν τῆς ΝΠ, ὕψους δὲ τοῦ ΓΤ, στερεὸν παραλληλεπίπεδον τὸ ΦΓ. καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ, ἔξωθεν δὲ τὸ ΓΦ, τὰ δὲ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ τὸν αὐτὸν ἔχει λόγον, ἔστιν ἄρα ὡς τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν.
그러므로 ΑΗ와 같은 ΓΤ가 놓였다고 하고, 밑면 ΝΠ와 높이 ΓΤ로써 입체 평행육면체 ΦΓ가 완성되었다고 하자. 그리고 입체 ΑΒ는 입체 ΓΔ와 같고, 외부에 ΓΦ가 있으므로, 같은 크기들이 같은 것에 대해 가지는 비는 같으므로, 그러므로 입체 ΑΒ 대 입체 ΓΦ의 비는 입체 ΓΔ 대 입체 ΓΦ의 비와 같다.
ἀλλʼ ὡς μὲν τὸ ΑΒ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν·
그런데 입체 ΑΒ 대 입체 ΓΦ의 비는 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비와 같다.
ἰσοϋψῆ γὰρ τὰ ΑΒ, ΓΦ στερεά·
왜냐하면 입체 ΑΒ, ΓΦ는 높이가 같기 때문이다.
ὡς δὲ τὸ ΓΔ στερεὸν πρὸς τὸ ΓΦ στερεόν, οὕτως ἡ ΜΠ βάσις πρὸς τὴν ΤΠ βάσιν καὶ ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ·
한편 입체 ΓΔ 대 입체 ΓΦ의 비는 밑면 ΜΠ 대 밑면 ΤΠ의 비, 즉 ΓΜ 대 ΓΤ의 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΓΤ. ἴση δὲ ἡ ΓΤ τῇ ΑΗ·
그러므로 또한 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 ΜΓ 대 ΓΤ의 비와 같다. 그런데 ΓΤ는 ΑΗ와 같다.
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ. τῶν ΑΒ, ΓΔ ἄρα στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπόνθασιν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν.
그러므로 또한 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 ΜΓ 대 ΑΗ의 비와 같다. 그러므로 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ의 밑면과 높이는 서로 반비례한다.
πάλιν δὴ τῶν ΑΒ, ΓΔ στερεῶν παραλληλεπιπέδων ἀντιπεπονθέτωσαν αἱ βάσεις τοῖς ὕψεσιν, καὶ ἔστω ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος·
다시 입체 평행육면체 ΑΒ, ΓΔ의 밑면과 높이가 서로 반비례한다고 하고, 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 입체 ΓΔ의 높이 대 입체 ΑΒ의 높이의 비와 같다고 하자.
λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.
나는 입체 ΑΒ가 입체 ΓΔ와 같다고 주장한다.
ἔστωσαν πάλιν αἱ ἐφεστηκυῖαι πρὸς ὀρθὰς ταῖς βάσεσιν, καὶ εἰ μὲν ἴση ἐστὶν ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ βάσει, καί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος πρὸς τὸ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψος, ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος τῷ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψει.
다시 서 있는 직선들이 밑면에 대해 직각이라고 하자. 그리고 만일 밑면 ΕΘ가 밑면 ΝΠ와 같고, 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 입체 ΓΔ의 높이 대 입체 ΑΒ의 높이의 비와 같다면, 입체 ΓΔ의 높이도 입체 ΑΒ의 높이와 같다.
τὰ δὲ ἐπὶ ἴσων βάσεων στερεὰ παραλληλεπίπεδα καὶ ὑπὸ τὸ αὐτὸ ὕψος ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν·
그런데 같은 밑면 위에 있고 높이가 같은 입체 평행육면체들은 서로 같다.
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒ στερεὸν τῷ ΓΔ στερεῷ.
그러므로 입체 ΑΒ는 입체 ΓΔ와 같다.
μὴ ἔστω δὴ ἡ ΕΘ βάσις τῇ ΝΠ ἴση, ἀλλʼ ἔστω μείζων ἡ ΕΘ·
이제 밑면 ΕΘ가 밑면 ΝΠ와 같지 않고, ΕΘ가 더 크다고 하자.
μεῖζον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ τοῦ ΓΔ στερεοῦ ὕψος τοῦ τοῦ ΑΒ στερεοῦ ὕψους, τουτέστιν ἡ ΓΜ τῆς ΑΗ. κείσθω τῇ ΑΗ ἴση πάλιν ἡ ΓΤ, καὶ συμπεπληρώσθω ὁμοίως τὸ ΓΦ στερεόν.
그러므로 입체 ΓΔ의 높이도 입체 ΑΒ의 높이보다 크다. 즉, ΓΜ이 ΑΗ보다 크다. 다시 ΑΗ와 같은 ΓΤ가 놓였다고 하고, 똑같이 입체 ΓΦ가 완성되었다고 하자.
ἐπεί ἐστιν ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΜΓ πρὸς τὴν ΑΗ, ἴση δὲ ἡ ΑΗ τῇ ΓΤ, ἔστιν ἄρα ὡς ἡ ΕΘ βάσις πρὸς τὴν ΝΠ βάσιν, οὕτως ἡ ΓΜ πρὸς τὴν ΓΤ.
밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 ΜΓ 대 ΑΗ의 비와 같고, ΑΗ는 ΓΤ와 같으므로, 그러므로 밑면 ΕΘ 대 밑면 ΝΠ의 비는 ΓΜ 대 ΓΤ의 비와 같다.